Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Ten artykuł od 2012-11 wymaga zweryfikowania podanych informacji. Należy podać wiarygodne źródła, najlepiej w formie
przypisów bibliograficznych .
Część lub nawet wszystkie informacje w artykule mogą być nieprawdziwe. Jako pozbawione źródeł mogą zostać zakwestionowane i usunięte. Po wyeliminowaniu niedoskonałości należy usunąć szablon {{Dopracować}} z tego artykułu.
Suma statystyczna – pojęcie pomocnicze w mechanice statystycznej , pozwala obliczyć równowagowe funkcje stanu . Oznaczana jako
Z
,
{\displaystyle Z,}
wyraża się wzorem[1] :
Z
=
∑
σ
exp
(
−
β
E
σ
)
=
∑
σ
exp
(
−
E
σ
k
B
T
)
.
{\displaystyle Z=\sum _{\sigma }\exp(-\beta E_{\sigma })=\sum _{\sigma }\exp \left(-{\frac {E_{\sigma }}{k_{B}T}}\right).}
gdzie:
Σ
σ
{\displaystyle \Sigma _{\sigma }}
– suma po stanach mikroskopowych,
σ
{\displaystyle \sigma }
– indeks stanu mikroskopowego ,
E
σ
{\displaystyle E_{\sigma }}
– jego energia,
β
=
1
/
(
k
B
T
)
,
{\displaystyle \beta =1/(k_{B}T),}
k
B
{\displaystyle k_{B}}
– stała Boltzmanna ,
T
{\displaystyle T}
– temperatura w skali Kelvina.
Przykładowo energia swobodna wyraża się jako:
F
=
−
k
B
T
ln
(
Z
)
.
{\displaystyle F=-k_{B}T\ln(Z).}
W mechanice kwantowej analogiem sumy statystycznej jest ślad macierzy operatora gęstości stanów , czyli:
Z
=
T
r
(
e
−
β
(
H
^
−
μ
N
^
)
)
{\displaystyle Z={\rm {{Tr}(e^{-\beta ({\hat {H}}-\mu {\hat {N}})})}}}
występuje on w definicji wartości średniej z obserwabli :
⟨
A
⟩
=
T
r
(
ρ
^
A
^
)
,
{\displaystyle \langle A\rangle ={\rm {{Tr}({\hat {\rho }}{\hat {A}}),}}}
gdzie:
ρ
^
=
1
Z
e
−
β
(
H
^
−
μ
N
^
)
,
{\displaystyle {\hat {\rho }}={\frac {1}{Z}}e^{-\beta ({\hat {H}}-\mu {\hat {N}})},}
H
^
{\displaystyle {\hat {H}}}
– hamiltonian układu fizycznego,
μ
{\displaystyle \mu }
– potencjał chemiczny ,
N
^
{\displaystyle {\hat {N}}}
– operator liczby cząstek (jeżeli w układzie jest zachowana liczba cząstek).