System LTI

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania

System LTI, czyli system liniowy niezmienniczy w czasiesystem, który jest liniowy ze względu na wszystkie swoje argumenty (czyli elementy) w dowolnej chwili czasu.

Wstęp[edytuj | edytuj kod]

Interpretacja pojęcia sygnału[edytuj | edytuj kod]

Sygnał to w najprostszym rozumieniu zapis pewnej wielkości fizycznej. Jest on zależny od czasu, ponieważ z czasem badane zjawisko może ulegać różnym, badanym zmianom. Można wyobrażać sobie sygnał przykładowo jako pewnego rodzaju funkcję postaci Jednak w analizie danych nie dysponuje się wartościami takiej funkcji dla każdego i dowolnego czasu Fizycznie można bowiem zmierzyć pewną wielkość tylko dla skończonej liczby czasów – przykładowo dla s zmierzono dla otrzymano itd. Nie można jednak zmierzyć wartości dla każdej wartości gdyż wartości jest nieskończenie wiele.

Dlatego też zamiast funkcji określającej sygnał w sposób ciągły korzysta się z wartości dyskretnych: gdzie Ich liczba w danym doświadczeniu jest skończona, przykładowo dla 3 s zapisu pewnego dźwięku, który w przyrodzie jest ciągły (gdyż występuje w dowolnej chwili czasu) można posiadać różne wartości natężenia dźwięku dla = 0 sekundy, = 1 sekundy, = 2 sekundy i = 3 sekundy. Zapisuje się to jako skąd i

Możliwe jest zatem wykonywanie stosownych, interesujących z perspektywy celu badań, operacji, jak dodawanie tych wartości itp.

Zapis (lub ) rozumie się po prostu jako sygnał.

Interpretacja pojęcia systemu[edytuj | edytuj kod]

System w tym wypadku należy rozumieć jako dowolną fizyczną całość, która fizycznie modyfikuje sygnał w pewien sposób. Przykładem takiego systemu może być filtr. Istotę systemu można przedstawić schematycznie:

gdzie to nowe, zmienione systemem, wartości pewnego zjawiska. W ogólnym wypadku, i to wektory, a system jest operatorem (czyli pewną macierzą).

Formalnie stosuje się jednak zapis z użyciem symboli:

gdzie oznacza system.

Pojęcia opisujące system[edytuj | edytuj kod]

Liniowość systemu[edytuj | edytuj kod]

Niech dany będzie sygnał postaci gdzie i to pewne stałe wielkości (liczby, których może być więcej), wynikające przykładowo z charakteru przeprowadzanego doświadczenia, a i to pewne sygnały (których również może być więcej). Sygnał taki jest zatem sumą dwóch sygnałów o odpowiednich liczbowych współczynnikach.

System, zapisany jak powyżej, uznaje się za liniowy, jeżeli zmodyfikuje on sygnał typu w następujący sposób:

lub analogicznie. Powyższe przekształcenie stanowi definicję liniowości.

Sekwencja jednostkowa[edytuj | edytuj kod]

Na potrzeby dalszej analizy, zdefiniowano sekwencję jednostkową o symbolu δ[n], będącą sygnałem określonym w następujący sposób:

Jest to zatem sygnał, którego wszystkie elementy mają wartość 0, poza pierwszym. Innymi słowy δ[n] = [1, 0, 0, 0, 0, 0, 0,...].

Z powyższej definicji, sygnał δ[n – k] ma postać

Jest to zatem sygnał, którego wszystkie elementy mają wartość 0, poza -tym ( jest liczbą całkowitą).

Można zauważyć, że za pomocą sekwencji jednostkowej można zapisać dowolny sygnał jako pewną sumę sekwencji jednostkowych:

gdzie – liczba elementów sygnału. Przykładowo:

Powyższe przekształcenia wynikają z własności wektorów.

System LTI[edytuj | edytuj kod]

Sygnał opisany za pomocą sekwencji jednostkowej można zmodyfikować systemem, otrzymując inny sygnał będący odpowiedzią systemu:

Jeżeli system jest liniowy, to

Jeżeli system jest również niezmienniczy w czasie, czyli jego parametry są stale takie same, to odpowiedź systemu na sekwencję jednostkową również będzie wciąż taka sama, jako że sekwencja jednostkowa z definicji nie ulega zmianom. Fakt ten uwzględnia się w zapisie

Stąd ostatecznie

System liniowy i niezmienniczy w czasie nazwano systemem LTI (ang. linear time-invariant). Znając odpowiedź pewnego systemu, będącego systemem LTI, na sekwencję jednostkową (pik), można zatem obliczyć jego odpowiedź na dowolny inny, znany sygnał

Jednocześnie, powyższy zapis jest definicją splotu:

Zobacz też[edytuj | edytuj kod]