Tensor żyracji

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Tensor żyracji jest tensorem opisującym drugi moment, który opisuje pozycję zbioru cząstek lub cząstek elementarnych.

gdzie jest współrzędną kartezjańską wektora pozycyjnego cząstki.

Początek układu współrzędnych został dobrany tak aby został spełniony następujący warunek:

co oznacza, że system posiada centrum masy , zdefiniowane w sposób następujący:

W układzie ciągłym tensor żyracji jest zapisywany jako:

gdzie reprezentuje gęstość cząstek w zadanym położeniu .

Pomimo że, tensor żyracji oraz tensor momentu bezwładności wyrażone są za pomocą odmiennych jednostek to wykazują one istotne podobieństwo. Kluczową różnicą jest nadanie masy każdej z cząstek opisywanych za pomocą tensora momentu bezwładności podczas gdy wartość tensora żyracji zależy jedynie od położenia cząstek a masa nie odgrywa żadnego znaczenia. Dlatego też w przypadku gdy wszystkie cząstki w opisywanym układzie mają taką samą masę to obydwa tensory są do siebie proporcjonalne.

Diagonalizacja[edytuj]

Ponieważ tensor żyracji stanowi symetryczną macierz kwadratową o rozmiarze 3x3, to kartezjański układ współrzędnych może być wyznaczona w oparciu o część diagonalną macierzy.

gdzie osie są dobrane w taki sposób aby elementy diagonalne były uporządkowane w sposób następujący:

.

Opisane elementy diagonalne są zwyczajowo nazywane "momentami głównymi" tensora żyracji.

Parametry opisujące kształt cząsteczki[edytuj]

Momenty główne tensora żyracji mogą posłużyć do wyrażenia kilku parametrów opisujących rozmieszczenie cząsteczek; podniesiony do kwadratu promień żyracji jest sumą momentów głównych.

Asferyczność jest definiowana w sposób następujący:

Wielkość ta jest zawsze dodatnia, przyjmuje wartość zerową jedynie gdy wszystkie momenty główne są równe, λx = λy = λz. Jest to osiągane gdy rozmieszczenie cząstek w przestrzeni jest sferyczne (stąd też wywodzi się nazwa tego parametru), lub też gdy rozmieszczenie cząstek jest symetryczne względem wszystkich osi w układzie – przykładowo cząsteczki są rozmieszczone na podobieństwo sześcianu, tetraedru lub innej bryły platońskiej.

W podobny sposób acylindryczność jest definiowana jako:

Wielkość ta ma zawsze wartość dodatnią, przyjmuje wartość zerową tylko gdy dwa momenty główne są równe, λx = λy. Warunek ten jest spełniony gdy rozmieszczenie cząstek jest cylindrycznie symetryczne (stąd pochodzi miano parametru). Jednakże w sytuacji, gdy rozmieszczenie cząstek jest symetryczne względem dwóch osi układu współrzędnych acylindryczność także równa się zeru.

Natomiast względna anizotropia kształtu jest definiowana jako:

Parametr ten przyjmuje wartości w zakresie od zera do jeden.

Przypisy[edytuj]

  • Mattice WL, Suter UW: Conformational Theory of Large Molecules. Wiley Interscience, 1994. ISBN 0-471-84338-5
  • Theodorou DN, Suter UW. Shape of Unperturbed Linear Polymers: Polypropylene. „Macromolecules”, s. 1206–1214, 1985. DOI: 10.1021/ma00148a028.