Tensor momentu bezwładności

Tensor momentu bezwładności – tensor drugiego rzędu opisujący moment bezwładności. Występuje on w równaniu wiążącym moment pędu z prędkością kątową dla danego ciała

${\vec {L}}={\hat {I}}{\vec {\omega }},$

gdzie:

${\vec {L}}$ – moment pędu,

${\hat {I}}$ – tensor momentu bezwładności,

${\vec {\omega }}$ – prędkość kątowa.

Tensor bezwładności zapisany jako macierz wygląda następująco

$\mathbf {I} ={\begin{bmatrix}I_{xx}&I_{xy}&I_{xz}\\I_{yx}&I_{yy}&I_{yz}\\I_{zx}&I_{zy}&I_{zz}\end{bmatrix}}.$

Współczynniki diagonalne (leżące na głównej przekątnej) nazywamy momentami głównymi, natomiast pozadiagonalne momentami dewiacji.

Wartości współczynników tensora momentu bezwładności, w przypadku dyskretnego rozkładu masy, definiuje się przez

$I_{ij}\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \sum _{k}m_{k}(r_{k}^{2}\delta _{ij}-r_{ki}r_{kj}),$

gdzie:

$\delta _{ij}$ jest deltą Kroneckera,

$r_{k1}=x_{k},$ $r_{k2}=y_{k},$ $r_{k3}=z_{k},$

$r_{k}$ – odległość punktu od początku układu współrzędnych, spełnia on zależność:

$r_{k}^{2}=x_{k}^{2}+y_{k}^{2}+z_{k}^{2}.$

Rozpisując powyższy wzór na składowe, otrzymujemy wzory na momenty główne

$I_{xx}=\sum _{k}m_{k}(y_{k}^{2}+z_{k}^{2})=\sum _{k}m_{k}(r_{k}^{2}-x_{k}^{2}),$

$I_{yy}=\sum _{k}m_{k}(z_{k}^{2}+x_{k}^{2})=\sum _{k}m_{k}(r_{k}^{2}-y_{k}^{2}),$

$I_{zz}=\sum _{k}m_{k}(x_{k}^{2}+y_{k}^{2})=\sum _{k}m_{k}(r_{k}^{2}-z_{k}^{2})$

oraz momenty dewiacyjne

$I_{xy}=I_{yx}=-\sum _{k}m_{k}x_{k}y_{k},$

$I_{yz}=I_{zy}=-\sum _{k}m_{k}y_{k}z_{k},$

$I_{zx}=I_{xz}=-\sum _{k}m_{k}z_{k}x_{k},$

gdzie:

$x_{k},$ $y_{k},$ $z_{k}$ – składowe wektora wodzącego $k$-tego punktu,

$m_{k}$ – masa $k$-tego punktu.

Postać dla rozkładu ciągłego z gęstością masy $\rho (x,y,z)$ o objętości $V{:}$

$I_{ij}\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \int \limits _{V}\rho (x,y,z)(r^{2}\delta _{ij}-r_{i}r_{j})dv.$

Tensor ten jest tensorem symetrycznym (jego macierz jest symetryczna).

Suma składników diagonalnych jest niezależna od wyboru kierunku osi układu współrzędnych. Dowód dla układu punktów:

$I_{xx}+I_{yy}+I_{zz}=\sum _{k}m_{k}(y_{k}^{2}+z_{k}^{2})+\sum _{k}m_{k}(z_{k}^{2}+x_{k}^{2})+\sum _{k}m_{k}(x_{k}^{2}+y_{k}^{2})=2\sum _{k}m_{k}r_{k}^{2}.$

Zobacz też

• elipsoida bezwładności

Linki zewnętrzne

• Bryła sztywna. [dostęp 2014-02-21].