Moment bezwładności

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj
Mechanika klasyczna
Rownia tarcie.svg
II zasada dynamiki Newtona
Wprowadzenie
Historia
Aparat matematyczny
Koncepcje podstawowe
Przestrzeń · Czas · Prędkość · Szybkość · Masa · Przyspieszenie · Grawitacja · Siła · Popęd · Moment siły / Moment / Para sił · Pęd · Moment pędu · Bezwładność · Moment bezwładności · Układ odniesienia · Energia · Energia kinetyczna · Energia potencjalna · Praca · Praca wirtualna · Moc · Zasada d’Alemberta
Znani uczeni
Isaac Newton · Jeremiah Horrocks · Leonhard Euler · Jean le Rond d’Alembert · Alexis Clairaut · Joseph Louis Lagrange · Pierre Simon de Laplace · Henri Poincaré · Pierre Louis Maupertuis · William Rowan Hamilton · Siméon Denis Poisson

Moment bezwładności (masy) – miara bezwładności ciała w ruchu obrotowym względem określonej, ustalonej osi obrotu. Im większy moment, tym trudniej zmienić ruch obrotowy ciała, np. rozkręcić dane ciało lub zmniejszyć jego prędkość kątową. Moment bezwładności odgrywa analogiczną rolę w dynamice ruchu obrotowego jak masa w dynamice ruchu postępowego. Występuje on w relacjach między momentem pędu, energią kinetyczną a prędkością kątową, podobnie jak masa - między pędem, energią kinetyczną a prędkością liniową. Moment bezwładności zależy od osi obrotu ciała, a w ogólnym przypadku jest tensorem.

Moment bezwładności jako skalar[edytuj]

Definicja[edytuj]

Energia kinetyczna E punktu materialnego o masie m poruszającego się z prędkością v określa wzór:

Jeżeli punkt ten porusza się po okręgu, wówczas jego energię można wyrazić w wielkościach fizycznych opisujących ruch obrotowy:

Z powyższego wynika, że moment bezwładności punktu materialnego jest iloczynem jego masy i kwadratu odległości od osi obrotu:

gdzie:

– masa punktu,
– odległość punktu od osi obrotu,
– prędkość kątowa.

Moment bezwładności ciała składającego się z punktów materialnych jest sumą momentów bezwładności wszystkich tych punktów względem obranej osi obrotu:

Moment bezwładności ciała zależy od wyboru osi obrotu, od kształtu ciała i od rozmieszczenia masy w ciele. Moment bezwładności ma wymiar . Zwykle mierzy się go w kg·m².

Dla ciał o ciągłym rozkładzie masy sumowanie we wzorze na moment bezwładności przechodzi w całkowanie. Niech ciało będzie podzielone na nieskończenie małe elementy o masach , oraz niech oznacza odległość każdego takiego elementu od osi obrotu. W takim przypadku moment bezwładności określa wzór:

gdzie całkowanie odbywa się po całej objętości ciała.

Za pomocą momentu bezwładności bryły sztywnej, obracającej się względem pewnej osi z prędkością kątową względem tej osi, można wyrazić energię kinetyczną tej bryły

Przykłady[edytuj]

Momenty bezwładności przykładowych brył

Rura cylindryczna[edytuj]

Dla rury cylindrycznej o zewnętrznym promieniu i wewnętrznym , obracającej się dookoła swej osi. Elementem masy jest powłoka cylindryczna o promieniu , grubości , długości i gęstości materiału (gęstość jest jednakowa dla całej bryły), to:

  • masa elementu:
  • objętość elementu:

skąd wynika, że

gdzie jest objętością cylindrycznej powłoki o masie

Moment bezwładności cylindra względem osi wynosi:

Całkowita masa cylindra równa się iloczynowi gęstości i objętości :

czyli:

Moment bezwładności rury cylindrycznej lub pierścienia o masie , wewnętrznym promieniu oraz zewnętrznym wynosi:

względem osi cylindra.

Walec[edytuj]

Walec można traktować jak rurę, w której promień wewnętrzny równa się 0, czyli zatem:

gdzie jest promieniem pełnego walca o masie

Cienkościenna rura[edytuj]

Cienkościenną rurę można potraktować jako cylinder z nieskończenie cienką ścianką, czyli , zatem:

Zobacz też[edytuj]

Linki zewnętrzne[edytuj]