Moment bezwładności

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj
Mechanika klasyczna
Rownia tarcie.svg
II zasada dynamiki Newtona
Wprowadzenie
Historia
Aparat matematyczny
Koncepcje podstawowe
Przestrzeń · Czas · Prędkość · Szybkość · Masa · Przyspieszenie · Grawitacja · Siła · Popęd · Moment siły / Moment / Para sił · Pęd · Moment pędu · Bezwładność · Moment bezwładności · Układ odniesienia · Energia · Energia kinetyczna · Energia potencjalna · Praca · Praca wirtualna · Moc · Zasada d’Alemberta
Znani uczeni
Isaac Newton · Jeremiah Horrocks · Leonhard Euler · Jean le Rond d’Alembert · Alexis Clairaut · Joseph Louis Lagrange · Pierre Simon de Laplace · Henri Poincaré · Pierre Louis Maupertuis · William Rowan Hamilton · Siméon Denis Poisson

Moment bezwładności – miara bezwładności ciała w ruchu obrotowym względem określonej, ustalonej osi obrotu. Im większy moment, tym trudniej zmienić ruch obrotowy ciała, np. rozkręcić dane ciało lub zmniejszyć jego prędkość kątową. Moment bezwładności odgrywa prawie taką samą rolę w dynamice ruchu obrotowego jak masa w dynamice ruchu postępowego, opisując relacje między momentem pędu, energią kinetyczną a prędkością kątową jak masa między pędem, energią kinetyczną a prędkością. Moment bezwładności zależy od osi obrotu ciała, a w ogólnym przypadku jest tensorem.

Moment bezwładności jako skalar[edytuj]

Definicja[edytuj]

Energia kinetyczna E punktu materialnego o masie m poruszającego się z prędkością v określa wzór:

Jeżeli punkt ten porusza się po okręgu, wówczas jego energię można wyrazić w wielkościach fizycznych opisujących ruch obrotowy:

Z powyższego wynika, że moment bezwładności punktu materialnego jest iloczynem jego masy i kwadratu odległości od osi obrotu:

gdzie:

– masa punktu,
– odległość punktu od osi obrotu,
– prędkość kątowa.

Moment bezwładności ciała składającego się z punktów materialnych jest sumą momentów bezwładności wszystkich tych punktów względem obranej osi obrotu:

Moment bezwładności ciała zależy od wyboru osi obrotu, od kształtu ciała i od rozmieszczenia masy w ciele. Moment bezwładności ma wymiar . Zwykle mierzy się go w kg·m².

Dla ciał o ciągłym rozkładzie masy sumowanie we wzorze na moment bezwładności przechodzi w całkowanie. Niech ciało będzie podzielone na nieskończenie małe elementy o masach , oraz niech oznacza odległość każdego takiego elementu od osi obrotu. W takim przypadku moment bezwładności określa wzór:

gdzie całkowanie odbywa się po całej objętości ciała.

Za pomocą momentu bezwładności bryły sztywnej, obracającej się względem pewnej osi z prędkością kątową względem tej osi, można wyrazić energię kinetyczną tej bryły

Przykłady[edytuj]

Momenty bezwładności przykładowych brył

Rura cylindryczna[edytuj]

Dla rury cylindrycznej o zewnętrznym promieniu i wewnętrznym , obracającej się dookoła swej osi. Elementem masy jest powłoka cylindryczna o promieniu , grubości , długości i gęstości materiału (gęstość jest jednakowa dla całej bryły), to:

  • masa elementu:
  • objętość elementu:

skąd wynika, że

gdzie jest objętością cylindrycznej powłoki o masie

Moment bezwładności cylindra względem osi wynosi:

Całkowita masa cylindra równa się iloczynowi gęstości i objętości :

czyli:

Moment bezwładności rury cylindrycznej lub pierścienia o masie , wewnętrznym promieniu oraz zewnętrznym wynosi:

względem osi cylindra.

Walec[edytuj]

Walec można traktować jak rurę, w której promień wewnętrzny równa się 0, czyli zatem:

gdzie jest promieniem pełnego walca o masie

Cienkościenna rura[edytuj]

Cienkościenną rurę można potraktować jako cylinder z nieskończenie cienką ścianką, czyli , zatem:

Zobacz też[edytuj]

Linki zewnętrzne[edytuj]