Twierdzenie Dirichleta o liczbach pierwszych

Twierdzenie Dirichleta o liczbach pierwszych w postępach arytmetycznych – twierdzenie teorii liczb, które orzeka, że w każdym ciągu arytmetycznym postaci $a+qn$ $(n=0,1,2,\dots )$ występuje nieskończenie wiele liczb pierwszych pod warunkiem, że $(a,q)=1$ (zapis $(x,y)$ oznacza największy wspólny dzielnik liczb $x$ i $y$ ). Dokładnie, twierdzenie to mówi, że gęstość naturalna liczb pierwszych w ciągu arytmetycznym $a+qn$ w stosunku do wszystkich liczb pierwszych wynosi $\varphi (q)^{-1},$ gdzie $\varphi$ oznacza tocjent Eulera.

Treść twierdzenia

Niech $\pi (x;q,a)$ będzie funkcją zliczającą liczby pierwsze $p\leqslant x,$ $p\equiv a({\text{mod }}{q})$ Wówczas prawdziwa jest równość^[1]

\lim _{x\to \infty }{\frac {\pi (x;q,a)\log x}{x}}={\frac {1}{\varphi (q)}},

przy czym $\log x$ oznacza logarytm naturalny z $x.$ Treść twierdzenia Dirichleta jest silniejsza od twierdzenia o liczbach pierwszych, które, dla porównania, oznajmia, że

\lim _{x\to \infty }{\frac {\pi (x)\log x}{x}}=1.

Dowody

Oryginalny dowód twierdzenia Dirichlet przeprowadził, wykorzystując analizę miejsc zerowych L-funkcji^[2].

W 1948 r. Atle Selberg przedstawił w Annals of Mathematics dowód elementarny^[3], oparty na swoim wcześniejszym elementarnym dowodzie twierdzenia o liczbach pierwszych^[4]. Oba bazowały na zależności

\sum _{p\leqslant x}{\frac {\log p}{p}}=\log x+O(1)

(gdzie suma jest wyłącznie po liczbach pierwszych $p\leqslant x$ ). Selberg w swoim rozumowaniu wykorzystał funkcję $\theta (n),$ przyjmującą niezerowe wartości dla $n$ mających 1 lub 2 dzielniki pierwsze oraz równą 0 dla wszystkich $n$ o $\geqslant 3$ dzielnikach pierwszych, ponadto zdefiniował wagi $\lambda _{d},$ takie, że

\theta (n)=\sum _{d|n}\lambda _{d}.

W 1950 r. Harold N. Shapiro opublikował dowód oparty również na powyższej zależności asymptotycznej, korzystający jedynie z elementarnych przekształceń, charakterów Dirichleta i własności L-funkcji, niewymagający definiowania dodatkowych funkcji ani znajomości analizy zespolonej^[5].

Silniejsze wyniki

Rozbieżność szeregu odwrotności

Wykorzystując rozumowanie Shapira, można wykazać zależność^[1]

\sum _{\begin{array}{c}p\leqslant x\\p\equiv a({\text{mod }}{q})\end{array}}{\frac {1}{p}}={\frac {1}{\varphi (q)}}\log \log x+A+O\left({\frac {1}{\log x}}\right)

dla pewnej stałej $A$ zależnej od $a$ i $q,$ która implikuje rozbieżność szeregu odwrotności liczb pierwszych ${\textstyle p\equiv a({\text{mod }}{q}),}$ a to pociąga za sobą prawdziwość twierdzenia Dirichleta. Implikacja odwrotna nie jest trywialna i nie musiałaby być prawdziwa (tak jak np. istnieje nieskończenie wiele kwadratów liczb naturalnych, ale suma szeregu ich odwrotności jest skończona).

Twierdzenie Siegela-Walfisza

Osobny artykuł: Twierdzenie Siegela-Walfisza.

Twierdzenie Siegela-Walfisza^[6] dostarcza dokładniejszego opisu ilościowego funkcji $\pi (x;q,a).$ Dokładnie twierdzenie to oznajmia, że jeśli $N$ jest dowolnie wybraną liczbą rzeczywistą, to istnieje stała $C_{N}$ taka, że jeśli $(a,q)=1,$ to dla wszystkich $x$ takich, że $q\leqslant (\log x)^{N}$ zachodzi

\pi (x;q,a)={\frac {{\text{Li}}(x)}{\varphi (q)}}+O\left({\frac {x}{\exp \left({\frac {C_{N}}{2}}{\sqrt {\log x}}\right)}}\right).

Uogólniona hipoteza Riemanna

Osobny artykuł: Hipoteza Riemanna.

Przy założeniu prawdziwości uogólnionej hipotezy Riemanna można wykazać^[7], że błąd w szacowaniu $\pi (x;q,a)$ spełnia zależność

\left|\pi (x;q,a)-{\frac {\pi (x)}{\varphi (q)}}\right|=O({\sqrt {x}}\log(qx)).

Twierdzenie Bombieriego-Winogradowa

Twierdzenie Bombieriego-Winogradowa opisuje zachowanie błędu w szacowaniu $\pi (x;q,a),$ uśrednionego dla wielu ciągów arytmetycznych.

Jeśli $A>0$ oraz $Q>0$ są dowolnymi stałymi, a $x$ spełnia nierówności

{\frac {\sqrt {x}}{(\log x)^{A}}}\leqslant Q\leqslant {\sqrt {x}},

to prawdziwa jest zależność^[7]

\sum _{q\leqslant Q}\max _{(a,q)=1}\max _{y\leqslant x}\left|\pi (y;q,a)-{\frac {\pi (y)}{\varphi (q)}}\right|=O\left({\frac {x}{(\log x)^{A}}}\right).

Twierdzenie to jest znaczącym wynikiem udowodnionym z wykorzystaniem teorii sit i często może stanowić substytut dla uogólnionej hipotezy Riemanna w dowodach innych twierdzeń^[8]^[9].

Przypisy

↑ ^a ^b Tom M.T.M. Apostol Tom M.T.M., Introduction to Analytic Number Theory, „Undergraduate Texts in Mathematics”, 1976, DOI: 10.1007/978-1-4757-5579-4, ISSN 0172-6056 [dostęp 2023-08-11] .
↑ Beweis des Satzes, dass jede unbegrenzte arithmetische Progression, deren erstes Glied und Differenz ganze Zahlen ohne gemeinschaftlichen Factor sind, unendlich viele Primzahlen enthält, Cambridge University Press, 14 czerwca 2012, s. 313–342, DOI: 10.1017/cbo9781139237338.023 [dostęp 2023-08-11] .
↑ AtleA. Selberg AtleA., An Elementary Proof of Dirichlet’s Theorem About Primes in an Arithmetic Progression, „The Annals of Mathematics”, 50 (2), 1949, s. 297, DOI: 10.2307/1969454, ISSN 0003-486X, JSTOR: 1969454 [dostęp 2023-08-12] .
↑ AtleA. Selberg AtleA., An Elementary Proof of the Prime-Number Theorem, „The Annals of Mathematics”, 50 (2), 1949, s. 305, DOI: 10.2307/1969455, ISSN 0003-486X, JSTOR: 1969455 [dostęp 2023-08-12] .
↑ Harold N.H.N. Shapiro Harold N.H.N., On Primes in Arithmetic Progressions (II), „The Annals of Mathematics”, 52 (1), 1950, s. 231, DOI: 10.2307/1969521, ISSN 0003-486X, JSTOR: 1969521 [dostęp 2023-08-11] .
↑ Walfisz, Arnold (1936). „Zur additiven Zahlentheorie. II” [On additive number theory. II]. Mathematische Zeitschrift (niem.). 40 (1): 592–607. doi:10.1007/BF01218882. MR 1545584.
↑ ^a ^b M.R.M.R. Murty M.R.M.R., K.L.K.L. Petersen K.L.K.L., A Bombieri-Vinogradov theorem for all number fields, „Transactions of the American Mathematical Society”, Vol. 365, wrzesień 2013, JSTOR: 23513087 [dostęp 2023-08-12] .
↑ J.J. Friedlander J.J., H.H. Iwaniec H.H., Opera de Cribro, American Mathematical Society, 2010, s. xiv (ang.).
↑ A.C.A.C. Cojocaru A.C.A.C., M.R.M.R. Murty M.R.M.R., An Introduction to Sieve Methods and Their Applications, Cambridge University Press, 2005, s. 156 (ang.).

Linki zewnętrzne

Twierdzenie Dirichleta, Wydział Matematyki i Nauk Informacyjnych Politechniki Warszawskiej (MiNI PW), kanał „Archipelag Matematyki” na YouTube, 4 października 2017 [dostęp 2024-09-04].

[:0-1] Tom M.T.M. Apostol Tom M.T.M., Introduction to Analytic Number Theory, „Undergraduate Texts in Mathematics”, 1976, DOI: 10.1007/978-1-4757-5579-4, ISSN 0172-6056 [dostęp 2023-08-11] .

[2] Beweis des Satzes, dass jede unbegrenzte arithmetische Progression, deren erstes Glied und Differenz ganze Zahlen ohne gemeinschaftlichen Factor sind, unendlich viele Primzahlen enthält, Cambridge University Press, 14 czerwca 2012, s. 313–342, DOI: 10.1017/cbo9781139237338.023 [dostęp 2023-08-11] .

[3] AtleA. Selberg AtleA., An Elementary Proof of Dirichlet’s Theorem About Primes in an Arithmetic Progression, „The Annals of Mathematics”, 50 (2), 1949, s. 297, DOI: 10.2307/1969454, ISSN 0003-486X, JSTOR: 1969454 [dostęp 2023-08-12] .

[4] AtleA. Selberg AtleA., An Elementary Proof of the Prime-Number Theorem, „The Annals of Mathematics”, 50 (2), 1949, s. 305, DOI: 10.2307/1969455, ISSN 0003-486X, JSTOR: 1969455 [dostęp 2023-08-12] .

[5] Harold N.H.N. Shapiro Harold N.H.N., On Primes in Arithmetic Progressions (II), „The Annals of Mathematics”, 52 (1), 1950, s. 231, DOI: 10.2307/1969521, ISSN 0003-486X, JSTOR: 1969521 [dostęp 2023-08-11] .

[6] Walfisz, Arnold (1936). „Zur additiven Zahlentheorie. II” [On additive number theory. II]. Mathematische Zeitschrift (niem.). 40 (1): 592–607. doi:10.1007/BF01218882. MR 1545584.

[:1-7] M.R.M.R. Murty M.R.M.R., K.L.K.L. Petersen K.L.K.L., A Bombieri-Vinogradov theorem for all number fields, „Transactions of the American Mathematical Society”, Vol. 365, wrzesień 2013, JSTOR: 23513087 [dostęp 2023-08-12] .

[8] J.J. Friedlander J.J., H.H. Iwaniec H.H., Opera de Cribro, American Mathematical Society, 2010, s. xiv (ang.).

[9] A.C.A.C. Cojocaru A.C.A.C., M.R.M.R. Murty M.R.M.R., An Introduction to Sieve Methods and Their Applications, Cambridge University Press, 2005, s. 156 (ang.).

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]