Problem bazylejski

Problem bazylejski – zagadnienie elementarnej analizy matematycznej i teorii liczb. Polega na obliczeniu dokładnej sumy odwrotności kwadratów wszystkich liczb naturalnych, tj. sumy szeregu:

$\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{2}}}=\lim _{n\to \infty }\left({\frac {1}{1^{2}}}+{\frac {1}{2^{2}}}+\ldots +{\frac {1}{n^{2}}}\right).$

Po raz pierwszy sformułował to w 1644 roku włoski matematyk Pietro Mengoli, a rozwiązał w 1735 roku Leonhard Euler. Ponieważ problem ten przez blisko 100 lat opierał się podejmowanym przez ówczesnych czołowych matematyków próbom rozwiązania, podołanie temu zadaniu przez dwudziestoośmioletniego Eulera przyniosło mu natychmiastową sławę. Euler w znacznym stopniu uogólnił pierwotne zagadnienie; jego pomysły zostały podjęte w 1859 przez Bernarda Riemanna w jego doniosłej pracy Über die Anzahl der Primzahlen unter einer gegebenen Größe, w której zdefiniował funkcję dzeta i udowodnił jej podstawowe właściwości. Nazwa problemu bazylejskiego pochodzi od Bazylei, rodzinnego miasta Eulera i rodziny Bernoullich – znanych szwajcarskich matematyków, którzy bezskutecznie zmagali się z tym zadaniem.

Suma ta z dokładnością do szóstego miejsca po przecinku wynosi 1,644934. Istotą bazylejskiego problemu było jednak znalezienie odpowiedzi na pytanie jaka jest dokładna suma tego szeregu i przeprowadzenie na to odpowiedniego dowodu. Euler w swoim odkryciu ogłoszonym w 1735 stwierdził, że suma ta wynosi $\pi ^{2}\!/6.$ W ówczesnej argumentacji użył pewnych zabiegów nieuprawnionych wedle wiedzy z tamtego roku; w pełni poprawny w sensie rygorów matematycznych dowód przeprowadził w 1741.

Dowód Eulera

Euler w swoim dowodzie rozszerzył obserwacje dotyczące skończonych wielomianów, uznając, że te same właściwości mają wielomiany nieskończone. Jego założenia wymagają uzasadnienia, jednak Euler uznał, że jeżeli jego wynik jest zgodny z wynikiem uzyskanym obliczeniowo, to wystarczy, by ogłosić rezultat swojej pracy w środowisku matematycznym.

Dowód Eulera opierał się na rozwinięciu w szereg Taylora funkcji sinus:

$\sin(x)=x-{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}-{\frac {x^{7}}{7!}}+\ldots$

Dzieląc stronami przez x otrzymujemy:

${\frac {\sin(x)}{x}}=1-{\frac {x^{2}}{3!}}+{\frac {x^{4}}{5!}}-{\frac {x^{6}}{7!}}+\ldots$

Miejsca zerowe funkcji ${\frac {\sin x}{x}}$ występują w $x=n\cdot \pi ,$ gdzie $n=\pm 1,\pm 2,\pm 3,\dots$

Załóżmy teraz, że możemy wyrazić ten szereg potęgowy jako iloczyn czynników liniowych, tak jak to robimy ze skończonymi wielomianami:

${\begin{aligned}{\frac {\sin(x)}{x}}&=\left(1-{\frac {x}{\pi }}\right)\left(1+{\frac {x}{\pi }}\right)\left(1-{\frac {x}{2\pi }}\right)\left(1+{\frac {x}{2\pi }}\right)\left(1-{\frac {x}{3\pi }}\right)\left(1+{\frac {x}{3\pi }}\right)\ldots \\&=\left(1-{\frac {x^{2}}{\pi ^{2}}}\right)\left(1-{\frac {x^{2}}{4\pi ^{2}}}\right)\left(1-{\frac {x^{2}}{9\pi ^{2}}}\right)\ldots \end{aligned}}$

Gdybyśmy przemnożyli ten iloczyn i zebrali wszystkie składniki zawierające $x^{2},$ zobaczylibyśmy, że współczynnik przy drugiej potędze rozwinięcia jest równy:

$-\left({\frac {1}{\pi ^{2}}}+{\frac {1}{4\pi ^{2}}}+{\frac {1}{9\pi ^{2}}}+\ldots \right)=-{\frac {1}{\pi ^{2}}}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{2}}}.$

Jednak w oryginalnym rozwinięciu funkcji ${\frac {\sin(x)}{x}}$ w szereg, współczynnik przy $x^{2}$ jest równy −1/(3!) = −1/6. Te dwa współczynniki muszą być sobie równe, zatem:

$-{\frac {1}{6}}=-{\frac {1}{\pi ^{2}}}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{2}}}.$

Mnożąc stronami przez $-\pi ^{2},$ otrzymujemy ostateczny wynik:

$\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{2}}}={\frac {\pi ^{2}}{6}}.$

Q.e.d.

Bibliografia

• Number Theory: An Approach Through History, Andre Weil, Springer, ISBN 0-8176-3141-0.
• Euler: The Master of Us All, William Dunham, MAA, ISBN 0-88385-328-0.
• JohnJ. Derbyshire JohnJ., Prime Obsession: Bernhard Riemann and the Greatest Unsolved Problem in Mathematics, Washington, DC: Joseph Henry Press, 2003, ISBN 0-309-08549-7, OCLC 61519857 .brak strony (książka)
• Proofs From the Book, Martin Aigner, Gunter Ziegler, Springer, ISBN 3-540-67865-4.
• Riemann’s Zeta Function, Harold M. Edwards, Dover, ISBN 0-486-41740-9.

Linki zewnętrzne

• Grant Sanderson, Why is pi here? And why is it squared? A geometric answer to the Basel problem, 3blue1brown, YouTube, 2 marca 2018 [dostęp 2021-03-14].