Funkcja L Dirichleta

W analitycznej teorii liczb, szereg L Dirichleta to szereg funkcyjny postaci

$L(s,\chi )=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\chi (n)}{n^{s}}},$

gdzie $\chi$ jest charakterem Dirichleta modulo $q,$ a $s$ jest liczbą zespoloną, przy czym $\Re (s)>1.$ Poprzez kontynuację analityczną pojęcie powyższego szeregu można rozszerzyć na całą płaszczyznę zespoloną. Wtedy funkcję $L(s,\chi )$ nazywa się funkcją L Dirichleta.

Funkcja zawdzięcza swoją nazwę Peterowi G.L. Dirichletowi, który wykorzystał jej własności aby pokazać, że wszystkie ciągi arytmetyczne $a+nq,$ gdzie $a,q$ są liczbami naturalnymi o największym wspólnym dzielniku równym 1, zawierają nieskończenie wiele liczb pierwszych.

Iloczyn Eulera

Ponieważ $\chi$ jest funkcją całkowicie multiplikatywną, funkcję L Dirichleta można przedstawić w postaci iloczynu Eulera

$L(s,\chi )=\prod _{p}\left(1-{\frac {\chi (p)}{p^{s}}}\right)^{-1}$

dla $\Re (s)>1,$ gdzie ${\textstyle \prod _{p}}$ rozumiemy jako zbieżny iloczyn po wszystkich liczbach pierwszych.