Twierdzenie Cayleya

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Twierdzenie Cayleyatwierdzenie teorii grup autorstwa Arthura Cayleya mówiące, że dowolna abstrakcyjna grupa jest w rzeczywistości pewną grupą przekształceń zbioru, na którym została ona określona. Jest to więc podgrupa grupy symetrycznej tego zbioru. Twierdzenie to pozwala przełożyć wszystkie wyniki dotyczące grup symetrycznych na grupy abstrakcyjne.

Twierdzenie[edytuj | edytuj kod]

Każda grupa zanurza się izomorficznie w grupie symetrycznej pewnego zbioru[1].

Dowód[2][edytuj | edytuj kod]

Wykażemy, że każda grupa G jest izomorficzna z pewną podgrupą grupy permutacji S(\mathbb{G}) zbioru G.

Niech a będzie dowolnym elementem grupy \mathbb{G} i niech \xi_a\colon\mathbb{G}\to\mathbb{G}, będzie odwzorowaniem takim, że: \xi_a(x)=ax, gdzie x\in\mathbb{G}.

Odwzorowanie \xi_a jest przekształceniem różnowartościowym, bowiem \xi_a(x)=\xi_a(y) \Rightarrow ax=ay \Rightarrow x=y. Ponadto dla dowolnego z\in\mathbb{G} istnieje element x\in\mathbb{G} taki, że \xi_a(x)=z. Takim elementem jest x:=a^{-1}z. Czyli \xi_a jest przekształceniem grupy \mathbb{G} na siebie tzn. \xi_a\in S(\mathbb{G}).

Zauważmy jeszcze, że dla \xi_a, \xi_b zachodzi (\xi_a\xi_b)(x)=\xi_a(\xi_b(x))=\xi_a(bx)=a(bx)=(ab)x=\xi_{ab}(x) dla dowolnego x\in\mathbb{G}.

Stąd \xi_a\xi_b=\xi_{ab} i zbiór odwzorowań \{\xi_a :\ a\in G\} jest grupą, w której \xi_e jest elementem neutralnym oraz (\xi_a)^{-1}= \xi_{a^{-1}}.

Określmy teraz odwzorowanie f\colon\mathbb{G}\to S(\mathbb{G}) w następujący sposób:

f(a)=\xi_a, dla a\in\mathbb{G}.

Jest ono iniektywne, bowiem f(a)=f(b)\Rightarrow\xi_a=\xi_b\Rightarrow\forall_{x\in\mathbb{G}}(ax=bx)\Rightarrow a=b, a z udowodnionej wcześniej własności wynika, że f jest homomorfizmem, bo f(ab)=\xi_{ab}=\xi_a\xi_b=f(a)f(b).

Stąd f\colon\mathbb{G}\to S(\mathbb{G}) jest zanurzeniem izomorficznym grupy \mathbb{G} w grupę S(\mathbb{G}).

q.e.d.


Izomorfizm f nazywa się niekiedy reprezentacją regularną G. Powyższe rozumowanie jest dowodem na to, iż działanie \xi grupy G na sobie przez mnożenie z lewej strony jest wierne.

Wniosek[edytuj | edytuj kod]

Każda grupa skończona rzędu n zanurza się izomorficznie w grupie symetrycznej S_n [3].

Historia[edytuj | edytuj kod]

Burnside[4] przypisuje to twierdzenie Jordanowi[5], jednak Eric Nummela[6] uważa, że nazwa "twierdzenie Cayleya" jest właściwsza. Dziś sens twierdzenia wydaje się oczywisty, jednak to dopiero Cayley’owi udało się zunifikować dwa różne – jak wówczas uważano – pojęcia tzn. pojęcie grupy i pojęcie grupy permutacji. I mimo że sam Cayley w swojej pracy[7] nie wykazał homomorfizmu, jego zasługi w upowszechnieniu tych pojęć na 16 lat przed Jordanem są niepodważalne.


Przypisy

  1. Bolesław Gleichgewicht, Algebra, Oficyna Wydawnicza GiS, Wrocław 2004, ISBN 978-83-89020-35-2; s.258, Twierdzenie 13.1
  2. Bolesław Gleichgewicht, Algebra, Oficyna Wydawnicza GiS, Wrocław 2004, ISBN 978-83-89020-35-2; s.258-259, Twierdzenie 13.1 - Dowód
  3. Bolesław Gleichgewicht, Algebra, Oficyna Wydawnicza GiS, Wrocław 2004, ISBN 978-83-89020-35-2; s.259, Wniosek 13.1
  4. Burnside, William, Theory of Groups of Finite Order (2 ed.), Cambridge, ISBN 0-486-49575-2, 1911.
  5. Jordan, Camille, Traite des substitutions et des equations algebriques, Paris: Gauther-Villars, 1870.
  6. Nummela, Eric, "Cayley's Theorem for Topological Groups", American Mathematical Monthly (Mathematical Association of America) 87 (3): 202–203, doi:10.2307/2321608, JSTOR 2321608, 1980.
  7. Cayley, Arthur, "On the theory of groups as depending on the symbolic equation θn=1", Philosophical Magazine 7 (42): 40–47, 1854.

Bibliografia[edytuj | edytuj kod]

  • A. Bojanowska, P. Traczyk, Algebra I, Skrypt WMIM, 2005