Twierdzenie Cayleya

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Twierdzenie Cayleyatwierdzenie teorii grup autorstwa Arthura Cayleya mówiące, iż dowolna abstrakcyjna grupa jest w rzeczywistości pewną grupą przekształceń (podgrupą grupy symetrycznej) zbioru, na którym została ona określona. Pozwala ono przełożyć wszystkie wyniki dotyczące grup symetrycznych na grupy abstrakcyjne.

Twierdzenie[edytuj | edytuj kod]

Każda grupa zanurza się izomorficznie w grupie symetrycznej pewnego zbioru[1].

Dowód[2][edytuj | edytuj kod]

Rozpatrzmy dowolny zbiór \mathbb{G} z dowolnym ustalonym działaniem \cdot, spełniający aksjomaty grupy.

Aby udowodnić to twierdzenie, wystarczy wykazać, że grupa \mathbb{G} zanurza się izomorficznie w grupie S(\mathbb{G}), czyli grupie wszystkich permutacji zbioru \mathbb{G}.

Niech a będzie dowolnym, ustalonym elementem grupy \mathbb{G}. Możemy określić odwzorowanie \xi_a\colon\mathbb{G}\to\mathbb{G}, takie że: \xi_a(x)=ax, gdzie x\in\mathbb{G}. Można zauważyć, że: \xi_a=\xi_b \Rightarrow ax=bx \Rightarrow x=y. Ostatnia z implikacji wynika wprost z własności grupy. Powyższe implikacje umożliwiają stwierdzenie, iż odwzorowanie \xi_a jest przekształceniem różnowartościowym. Można także zauważyć, że dla dowolnego z\in\mathbb{G} istnieje element x\in\mathbb{G}, taki że \xi_a(x)=z. Takim elementem jest x:=a^{-1}z. Łatwo zauważyć na podstawie aksjomatów grupy, że tak zdefiniowany x należy do \mathbb{G}. Zatem \xi_a stanowi przekształcenie grupy \mathbb{G} na siebie. Tak więc \xi_a\in S(\mathbb{G}). Zauważmy na podstawie własności grupy, że jeśli x\in\mathbb{G}, to: (\xi_a\xi_b)(x)=\xi_a(\xi_b(x))=\xi_a(bx)=a(bx)=(ab)x=\xi_{ab}.

Określmy teraz odwzorowanie f\colon\mathbb{G}\to S(\mathbb{G}) w następujący sposób:

f(a)=\xi_a, dla a\in\mathbb{G}.

Ponieważ f(a)=f(b)\Rightarrow\xi_a=\xi_b\Rightarrow\forall_{x\in\mathbb{G}}(ax=bx)\Rightarrow a=b, to jest to odwzorowanie iniektywne.

Z udowodnionej wczesnej własności można wykazać, że f jest homomorfizmem, ponieważ f(ab)=\xi_{ab}=\xi_a\xi_b=f(a)f(b).

Stąd f\colon\mathbb{G}\to S(\mathbb{G}) jest zanurzeniem izomorficznym grupy \mathbb{G} w grupę S(\mathbb{G}).

q.e.d.

Wniosek[edytuj | edytuj kod]

Każda grupa skończona rzędu n zanurza się izomorficznie w grupie symetrycznej S_n [3].

Inne sformułowania twierdzenia[edytuj | edytuj kod]

Teza[edytuj | edytuj kod]

Każda grupa G jest izomorficzna z pewną podgrupą grupy permutacji \operatorname{Sym}(G) zbioru G. W szczególności, każda grupa G rzędu n jest izomorficzna z pewną podgrupą grupy \operatorname{S}_n[4].

Dowód[4][edytuj | edytuj kod]

Dla dowolnej grupy (G, \cdot) i dowolnego elementu g \in G, niech odwzorowanie \psi_g\colon G \to G będzie zadane wzorem \psi_g(x) = gx. Funkcja \psi_g jest bijekcją zbioru elementów. Należy udowodnić, że przekształcenie \psi\colon G \to \operatorname{Sym}(G),\; \psi(g) = \psi_g jest zanurzeniem (monomorfizmem):

\begin{align} \psi(g_1 g_2)(x) & = \psi_{g_1 g_2}(x) = (g_1 g_2) x = g_1 (g_2 x) = \psi_{g_1}(\psi_{g_2}(x)) \\ & = (\psi_{g_1}\circ \psi_{g_2})(x) = \left(\psi(g_1) \circ \psi(g_2)\right)(x) \end{align},

zatem \psi(g_1 g_2) = \psi(g_1)\circ \psi(g_2).

Homomorfizm \psi nazywa się niekiedy reprezentacją regularną G. Powyższe rozumowanie jest dowodem na to, iż działanie \psi grupy G na sobie przez mnożenie z lewej strony jest wierne.

Przypisy

  1. Bolesław Gleichgewicht, Algebra, Oficyna Wydawnicza GiS, Wrocław 2004, ISBN 978-83-89020-35-2; s.258, Twierdzenie 13.1
  2. Bolesław Gleichgewicht, Algebra, Oficyna Wydawnicza GiS, Wrocław 2004, ISBN 978-83-89020-35-2; s.258-259, Twierdzenie 13.1 - Dowód
  3. Bolesław Gleichgewicht, Algebra, Oficyna Wydawnicza GiS, Wrocław 2004, ISBN 978-83-89020-35-2; s.259, Wniosek 13.1
  4. 4,0 4,1 A. Bojanowska, P. Traczyk, Algebra I, Skrypt WMIM, 2005