Twierdzenie Cevy (trygonometryczne)

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii

Wersja trygonometryczna twierdzenia Cevy pozwala na pokazanie, że proste Cevy w trójkącie przecinają się w jednym punkcie, gdy mamy pewne dane o kątach, ale nie mamy danych o tym, w jakim stosunku te proste dzielą boki trójkąta.

Treść[edytuj | edytuj kod]

Jeżeli proste Cevy w trójkącie przecinają się w jednym punkcie, to przy oznaczeniach kątów jak na rysunku zachodzi równość:

Dowód[edytuj | edytuj kod]

Z twierdzenia Cevy mamy:

Z twierdzenia sinusów mamy:

oraz

(kąty przyległe),

więc

Podobnie

Mnożąc stronami, dostajemy

Twierdzenie odwrotne[edytuj | edytuj kod]

Jeżeli proste Cevy spełniają przy oznaczeniach jak na rysunku

to przecinają się w jednym punkcie.

Dowód[edytuj | edytuj kod]

Dowód prowadzimy korzystając z twierdzenia odwrotnego do twierdzenia Cevy i analogicznie za pomocą zależności

sprowadzamy równość

do postaci trygonometrycznej

Zastosowania[edytuj | edytuj kod]

Za pomocą twierdzenia można łatwo udowodnić, że w każdym trójkącie w jednym punkcie przecinają się dwusieczne, symediany, wysokości, środkowe. Nie znaczy to jednak, że punkty przecięcia np. wysokości i symetralnych są tym samym punktem. Taki przypadek występuje tylko w trójkącie równobocznym.

Zobacz też[edytuj | edytuj kod]