Trygonometria

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacji, wyszukiwania

Trygonometria (łac. trigonometria, od trigonum: z gr. τρίγωνον trigōnon, neutr. od τρίγωνος trigōnos, „trójrożny, trójkątny”, od -γωνον -gōnon, od γωνία gōnia, „róg, kąt”; spokr. z γόνυ gónu, „kolano” oraz: łac. -metria, od gr. μετρεῖν metrein, „mierzyć”, od μέτρον metron, „miara, kij/pręt mierniczy”) – dział matematyki, którego przedmiotem badań są związki miarowe między bokami i kątami trójkątów oraz funkcje trygonometryczne. Trygonometria powstała i rozwinęła się głównie w związku z zagadnieniami pomiarów na powierzchni Ziemi oraz potrzebami żeglugi morskiej (określenia położenia i kierunku przy pomocy ciał niebieskich). Na rozwój trygonometrii miały też znaczący wpływ badania astronomiczne.

Historia[edytuj | edytuj kod]

Egipt i Babilon[edytuj | edytuj kod]

tablice Plimpton 322

W starożytnym Egipcie i Babilonie od wieków znano twierdzenia dotyczące stosunków boków trójkątów podobnych. Jednak społeczeństwa przed Grekami prawdopodobnie nie wynalazły idei miary kąta i w konsekwencji badały tylko boki trójkąta[1].

Niektórzy badacze uważają, że starożytni Babilończycy zapisali na tabliczkach pisma klinowego Plimpton 322, powstałych ok. 1800-1900 lat p.n.e., tablicę sekansów[2]. Jednakże według innych interpretacji mogły to być tablice trójek pitagorejskich[3][4] albo rozwiązanie równania kwadratowego[5][6].

Starożytna Grecja[edytuj | edytuj kod]

Cięciwa łuku utworzonego przez dany kąt.

Matematycy starożytnej Grecji znali pojęcie cięciwy. Dla danego okręgu i jego części (łuku) cięciwa jest prostą, która przecina okrąg na końcach łuku. Symetralna odcinka cięciwy mieszczącego się wewnątrz koła przechodzi przez jego środek i dzieli łuk (i tym samym kąt) na pół. Połowa długości cięciwy to dla okręgu jednostkowego sinus połowy kąta, czyli \mbox{crd}\ \theta = 2 \sin \tfrac{\theta}{2}. Wiele z twierdzeń trygonometrycznych było znanych starożytnym Grekom, jednak w postaci odpowiedników operujących długościami łuków i cięciw, a nie miarami kątów i stosunkami długości boków trójkąta[7].

Jakkolwiek w dziełach Euklidesa i Archimedesa nie było trygonometrii w ścisłym tego słowa znaczeniu, są jednak twierdzenia zaprezentowane w geometrycznej formie, które stanowią odpowiedniki pewnych trygonometrycznych praw i wzorów[1]. Na przykład propozycje XII i XIII z Księgi II Elementów są tożsame ze wzorem cosinusów odpowiednio dla kątów rozwartych i ostrych. Twierdzenia dotyczące długości cięciw są natomiast zastosowaniem wzoru sinusów. Jedno z twierdzeń Archimedesa jest zaś odpowiednikiem wzoru na sinus sumy i różnicy kątów[1]. Matematycy za czasów Arystarcha z Samos dla celów obliczeniowych używali m.in. twierdzenia mówiącego, iż (we współczesnej notacji) \tfrac{\sin\alpha}{\sin\beta}<\tfrac{\alpha}{\beta}<\tfrac{\operatorname{tg}\alpha}{\operatorname{tg}\beta} dla 0^\circ<\beta<\alpha<90^\circ\;[8].

Pierwsze tablice trygonometryczne zostały prawdopodobnie skompilowane przez Hipparcha (180-125 p.n.e.)[9]. Hipparch jako pierwszy ułożył tablice odpowiadających sobie długości cięciwy i łuku dla różnych kątów[9][10]

Średniowieczne przedstawienie Klaudiusza Ptolemeusza

Jakkolwiek nie wiadomo dokładnie, kiedy zaczęto używać podziału kąta pełnego na 360 stopni, przypuszczalnie nastąpiło to wkrótce po napisaniu przez Arystarcha z Samos dzieła O rozmiarach i odległościach Słońca i Księżyca ok. 260 p.n.e., gdyż mierzył on kąty w ułamkach kąta prostego[8]. Prawdopodobnie podział kąta pełnego na 360 stopni spopularyzował się głównie dzięki Hipparchowi i jego tablicy cięciw. Hipparch mógł podchwycić ideę takiego podziału u Hipsikla, który wcześniej dzielił dobę na 360 części, zapewne wzorując się na babilońskich astronomach[9]. W starożytnej astronomii ekliptyka została podzielona na 12 "znaków zodiaku" lub 36 dekanów. Roczny cykl około 360 dni można było otrzymać, dzieląc każdy znak na 30 części i każdy dekan na 10 części[11]. To dzięki używanemu w Babilonii sześćdziesiątkowemu systemowi liczbowemu każdy stopień został podzielony na 60 minut kątowych, a każda minuta na 60 sekund kątowych[11].

Menelaos z Aleksandrii (ok 100 n.e.) napisał trzy księgi pod tytułem Sphaerica. W Księdze I sformułował dla trójkątów sferycznych odpowiedniki twierdzeń dotyczących trójkątów na płaszczyźnie[7]. Sformułował również twierdzenie nieposiadające odpowiednika na płaszczyźnie euklidesowej, mówiące, że dwa trójkąty sferyczne są przystające, jeśli odpowiednie ich kąty mają równe miary (utożsamiał przy tym symetryczne wersje trójkątów sferycznych)[7]. Menelaos zauważył także, że suma kątów wewnętrznych trójkąta sferycznego jest zawsze większa od 180°[7]. Księga II Sphaerica dotyczyła zastosowań geometrii sferycznej do astronomii. Księga III zawierała "twierdzenie Menelausa"[7].

Później Klaudiusz Ptolemeusz (ok. 90 - ok. 168 n.e.) rozbudował w swoim dziele Almagest koncepcję "cięciw na okręgu" Hipparcha. Trzynasta księga Almagestu była znaczącą starożytną pracą w dziedzinie trygonometrii[12]. Jedno z jej twierdzeń jest dziś znane jako twierdzenie Ptolemeusza. Szczególny przypadek twierdzenia Ptolemeusza pojawia się także w Propozycji XCIII dzieła Euklidesa. Twierdzenie Ptolemeusza prowadzi do równoważnika wzorów na sinus i cosinus sumy i różnicy, choć oczywiście wyrażonych w języku cięciw, a nie funkcji. Ptolemeusz wyprowadził później ekwiwalent wzoru

\sin^2 \tfrac{x}{2} = \tfrac{1 - \cos x}{2}

Ptolemeusz używał tych wyników do stworzenia tablic trygonometrycznych, choć nie wiadomo, czy nie były one wyprowadzone z dzieła Hipparcha[12].

Ani tablice Hipparcha, ani Ptolemeusza nie przetrwały do czasów współczesnych, choć dzięki wzmiankom u innych autorów nie ma wątpliwości, że istniały[13].

Średniowieczne Indie[edytuj | edytuj kod]

Posąg Aryabhaty

Kolejny istotny postęp w trygonometrii został dokonany w Indiach. Indyjski matematyk i astronom Aryabhata (476550 n.e.) w swoim dziele Aryabhata-Siddhanta po raz pierwszy zdefiniował sinus w znanej dzisiaj formie związku między połową kąta i połową cięciwy, a także cosinus, sinus versus i arcus sinus. Jego dzieła zawierają najwcześniejsze tablice trygonometryczne, które przetrwały do dzisiaj, z wartościami funkcji sinus i sinus versus co 3.75° stopnia od 0° do 90°, z dokładnością do czterech miejsc znaczących. Jego nazwy na sinus i cosinus stały się podstawą nazw używanych dzisiaj (zobacz sekcję Definicja na okręgu jednostkowym).

Inni hinduscy matematycy rozwinęli później pracę Aryabhaty. W VI wieku n.e. Varahamihira używał wzorów:

\sin^2 x + \cos^2 x = 1\;
\sin x = \cos\left(\tfrac{\pi}{2} - x\right)
\tfrac{1 - \cos(2x)}{2} = \sin^2 x

W VII wieku Bhaskara I stworzył wzór pozwalający na przybliżone obliczanie sinusa dla kąta ostrego bez tablic (z błędem mniejszym od 1,9%):

\sin x \approx \tfrac{16x (\pi - x)}{5 \pi^2 - 4x (\pi - x)}, \qquad 0 \leqslant x \leqslant \tfrac{\pi}{2}

W końcu VII wieku, Brahmagupta wyprowadził wzór:

\ 1 - \sin^2 x = \cos^2 x = \sin^2\left(\tfrac{\pi}{2} - x \right)

oraz tzw. wzór interpolacyjny Brahmagupty:

f( a + x h ) \approx f(a) + x \left(\tfrac{\Delta f(a) + \Delta f(a-h)}{2}\right) + \tfrac{x^2 \Delta^2 f(a-h)}{2}.

który pozwolił mu na stablicowanie wartości sinusa[14].

Świat islamu[edytuj | edytuj kod]

Al-Chuwarizmi sportretowany na radzieckim znaczku pocztowym

Prace matematyków hinduskich zostały później przetłumaczone i rozszerzone w świecie muzułmańskim przez arabskich i perskich matematyków. W IX wieku Muhammad ibn Musa al-Chuwarizmi obliczył dokładne tablice sinusa i cosinusa i pierwsze w historii tablice tangensa.

W X wieku islamscy matematycy używali wszystkich sześciu funkcji trygonometrycznych z secansem i cosecansem włącznie, co wiadomo dzięki pracy autorstwa Abu al-Wafa. Abu al-Wafa stworzył tablice sinusa z krokiem 0,25° i dokładnością 8 cyfr dziesiętnych a także dokładne tablice tangensa. Zauważył również tożsamość:

\sin 2x = 2 \sin x \cos x \;

Wszystkie te wczesne wyniki trygonometryczne powstawały głównie w związku z pracami astronomicznymi, pierwsze traktaty wyłącznie o trygonometrii opublikowali zapewne Bhāskara Acārya i Nasir ad-Din Tusi w XIII wieku. Nasir ad-Din Tusi sformułował i udowodnił twierdzenie sinusów, sklasyfikował też sześć różnych przypadków prostokątnych trójkątów sferycznych.

W XIV wieku Ghiyath al-Kashi stworzył tablice sinusa z dokładnością do czterech cyfr sześćdziesiątkowych (odpowiednik 8 miejsc dziesiętnych) dla każdego stopnia z dodatkowymi poprawkami do obliczania wartości dla każdej minuty kątowej. Uług Beg (XV wiek) także podał dokładne tablice sinusa i tangensa sięgające 8 miejsc dziesiętnych.

Średniowieczne Chiny[edytuj | edytuj kod]

Tablice sinusów Aryabhaty zostały przetłumaczone na chiński i umieszczone w klasycznym dziele Kaiyuan Zhan Jing, skompilowanym w 718 roku w okresie dynastii Tang[15]. Jakkolwiek Chińczycy celowali w innych dziedzinach matematyki, takich jak stereometria, czy algebra, to wczesne formy trygonometrii nie rozpowszechniły się tak szybko jak w przypadku Greków, Hindusów i muzułmanów[16]. Powoli ten stan zaczął się zmieniać w okresie dynastii Song (960-1279), kiedy chińscy matematycy zaczęli kłaść większy nacisk na potrzeby geometrii sferycznej[15]. Na przykład Shen Kuo (1031-1095) używał funkcji trygonometrycznych do rozwiązywania problemów matematycznych z cięciwami i łukami[15]. Jak twierdzą historycy L. Gauchet i Joseph Needham, inny matematyk, Guo Shoujing (1231-1316) używał trygonometrii sferycznej w kalkulacjach kalendarzowych i astronomicznych[17][15].

Renesansowa Europa[edytuj | edytuj kod]

Regiomontanus był prawdopodobnie pierwszym europejskim matematykiem, który traktował trygonometrię jako oddzielną dyscyplinę matematyczną. Napisał w 1464 De triangulis omnimodus, a później Tabulae directionum.

Funkcję secans w Europie wprowadził Mikołaj Kopernik w dziele De revolutionibus orbium coelestium (1543)[18], choć arabscy matematycy używali jej prawdopodobnie już w IX wieku[19].

Francesco Maurolico w 1555 używał zapisu sinus[20], w 1583 J. Finck użył określeń tangens[21] oraz sekans[19]. Edmund Gunter w 1620 roku użył słowa cotangens[22], w 1624 roku wprowadził oznaczenie sin x[20] oraz tan x[21], a w 1636 cosi x oraz słowo cosinus (zamiast complementi sinus)[23]. François Viète w 1590 znalazł wzór na \cos nx\;[23].

W 1595 Bartłomiej Pitiscus użył po raz pierwszy terminu "trygonometria" w swoim dziele Trigonometria: sive de solutione triangulorum Tractatus brevis et perspicuus (1595, Heidelberg).

Opus palatinum de triangulis autorstwa Retyka, było prawdopodobnie pierwszą definicją funkcji trygonometrycznych w terminach trójkątów prostokątnych zamiast okręgów jednostkowych; ta praca została dokończona przez Valentina Otho, studenta Rheticusa w roku 1596.

Isaac Newton w 1665 znalazł rozwinięcie funkcji sinus[20] i cosinus[23] w szereg, a Leonhard Euler w 1734 rozwinięcie funkcji sinus w iloczyn nieskończony[20].

W XVII wieku Isaac Newton i James Stirling stworzyli wzór interpolacyjny Newtona-Stirlinga dla funkcji trygonometrycznych.

W 1770 Johann Heinrich Lambert znalazł reprezentację tangensa w postaci ułamka łańcuchowego[21].

Historia analizy trygonometrycznej[edytuj | edytuj kod]

Madhava (około roku 1400) stworzył podwaliny analizy matematycznej funkcji trygonometrycznych, odkrywając rozwinięcie funkcji w szeregi nieskończone. Badał on koncepcje szeregów potęgowych oraz pewnego szeregu, nazwanego później w Europie szeregiem Taylora i obliczył rozwinięcia sinusa, cosinusa, tangensa i cotangensa. Używając aproksymacji sinusa i cosinusa szeregiem Taylora, stworzył tablice sinusa z 12 miejscami znaczącymi i cosinusa z 9 miejscami znaczącymi. Podał także rozwinięcie π w szereg potęgowy. Jego prace były rozwijane przez jego następców ze szkoły astronomicznej w Kerala aż do XVI wieku[24][25].

Introductio in analysin infinitorum Leonharda Eulera z 1748 roku stworzyło grunt dla analitycznego traktowania funkcji trygonometrycznych w Europie, definiując je jako nieskończone szeregi i wprowadzając "wzór Eulera". Euler używał skrótów zbliżonych do dzisiejszych: sin., cos., tang., cot., sec., i cosec.

James Gregory, a następnie Brook Taylor badali szeregi, znane dziś jako szeregi Taylora. Ten ostatni znalazł rozwinięcia i aproksymacje wszystkich sześciu funkcji trygonometrycznych. Duże znaczenie na tym polu miały również prace Colina Maclaurina.

Zobacz też[edytuj | edytuj kod]

Przypisy

  1. 1,0 1,1 1,2 Boyer: A History of Mathematics. 1991, s. 158-159.
  2. Joseph: The Crest of the Peacock: Non-European Roots of Mathematics. 2000, s. 383–4.
  3. Evert M. Bruins: On Plimpton 322, Pythagorean numbers in Babylonian mathematics. Koninklijke Nederlandse Akademie van Wetenschappen Proceedings 52, 1949, s. 629–632.
  4. Evert M. Bruins: Pythagorean triads in Babylonian mathematics: The errors on Plimpton 322. Sumer 11, 1951, s. 117–121.
  5. Eleanor Robson. Neither Sherlock Holmes nor Babylon: a reassessment of Plimpton 322. „Historia Math.”. 28. 3, s. 167-206, 2001 (ang.). 
  6. Eleanor Robson. Words and pictures: new light on Plimpton 322. „American Mathematical Monthly”. 109. 2, s. 105–120, 2002 (ang.). 
  7. 7,0 7,1 7,2 7,3 7,4 Boyer: A History of Mathematics. 1991, s. 163.
  8. 8,0 8,1 Boyer: A History of Mathematics. 1991, s. 159.
  9. 9,0 9,1 9,2 Boyer: A History of Mathematics. 1991, s. 162.
  10. J.J. O'Connor, E.F. Robertson: Trigonometric functions w: MacTutor History of Mathematics Archive (ang.). 1996.
  11. 11,0 11,1 Boyer: A History of Mathematics. 1991, s. 166-167.
  12. 12,0 12,1 Boyer: A History of Mathematics. 1991, s. 164-166.
  13. Boyer: A History of Mathematics. 1991, s. 158–168.
  14. George G. Joseph: The Crest of the Peacock. Princeton University Press, 2000, s. 285-286. ISBN 0691006598.
  15. 15,0 15,1 15,2 15,3 Needham: Science and Civilization in China. T. 3. 1986, s. 109.
  16. Needham: Science and Civilization in China. T. 3. 1986, s. 108-109.
  17. Gauchet: Note Sur La Trigonométrie Sphérique de Kouo Cheou-King. s. 151.
  18. Astronomia i Kosmos: Mikołaj Kopernik. [dostęp 19 marca 2009].; Nikolaus-Kopernikus-Straße (niem.). [dostęp 19 marca 2009].
  19. 19,0 19,1 Mathworld - history of secant. [dostęp 10 stycznia 2009].
  20. 20,0 20,1 20,2 20,3 Mathworld - history of sine. [dostęp 10 stycznia 2009].
  21. 21,0 21,1 21,2 Mathworld - history of tangent. [dostęp 10 stycznia 2009].
  22. Mathworld - history of cotangent. [dostęp 10 stycznia 2009].
  23. 23,0 23,1 23,2 Mathworld - history of cosine. [dostęp 10 stycznia 2009].
  24. J.J. O'Connor, E.F. Robertson: Madhava of Sangamagramma (ang.). W: MacTutor History of Mathematics Archive [on-line]. 2000.
  25. Ian G. Pearce: Madhava of Sangamagramma (ang.). W: MacTutor History of Mathematics Archive [on-line]. 2002.

Bibliografia[edytuj | edytuj kod]