Twierdzenie Hartogsa (teoria mnogości)

Twierdzenie Hartogsa – twierdzenie w teorii mnogości ZF (bez aksjomatu wyboru), udowodnione w 1915 roku przez niemieckiego matematyka Friedricha Hartogsa, mówiące, że

Dla każdego zbioru $X$ istnieje liczba porządkowa $\alpha$ o tej własności, że nie istnieje funkcja różnowartościowa $\alpha \to X.$

Innymi słowy, twierdzenie Hartogsa mówi, że dla każdego zbioru istnieje od niego nie mniej liczny zbiór dobrze uporządkowany.

Funkcja Hartogsa

Każda niepusta klasa liczb porządkowych zawiera element najmniejszy. Fakt ten pozwala rozważać taką funkcję $\mathbb {H}$ (określoną na klasie wszystkich zbiorów i o wartościach w klasie wszystkich liczb porządkowych $\mathbf {On} ;$ por. paradoks Buralego-Fortiego – w szczególności każda taka funkcja jest klasą właściwą), że

$\mathbb {H} (X)=\min\{\alpha \in \mathbf {On} \colon \neg (\exists f)(f\colon \alpha {\overset {1-1}{\longrightarrow }}X)\}.$

Powyższa funkcja nazywana jest funkcją Hartogsa. Jeśli $\omega$ oznacza pierwszą nieskończoną liczbę porządkową (jej istnienie gwarantuje aksjomat nieskończoności), to $\mathbb {H} (\omega )$ jest pierwszą nieprzeliczalną liczbą porządkową, którą oznacza się symbolem $\omega _{1}.$ Wartości funkcji Hartogsa są zawsze początkowymi liczbami porządkowymi, a więc są one liczbami kardynalnymi.