Twierdzenie Junga

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania

Twierdzenie Junga to nierówność pomiędzy średnicą zbioru punktów w dowolnej przestrzeni euklidesowej

Twierdzenie[edytuj | edytuj kod]

Rozważmy przestrzeń zwartą

i niech

będzie średnicą zbioru K, to znaczy największą odległością euklidesową pomiędzy dowolnymi dwoma punktami w K. Twierdzenie Junga mówi, że istnieje zamknięta kula o promieniu

która zawiera K. Przypadek graniczny występuje w przypadku n-wymiarowego sympleksu foremnego

Twierdzenie Junga na płaszczyźnie[edytuj | edytuj kod]

Najczęściej twierdzenie Junga stosuje się do płaszczyzny, to znaczy przypadek n = 2. W tym przypadku twierdzenie mówi, że istnieje koło zawierające zbiór K o promieniu

Nie można pokazać lepszego ograniczenia: gdy S jest trójkątem równobocznym (lub jego trzema wierzchołkami), wtedy

Inne przestrzenie metryczne[edytuj | edytuj kod]

Dla dowolnego ograniczonego zbioru S, w dowolnej przestrzeni metrycznej d/2 ≤ rd. Pierwsza nierówność wynika z nierówności trójkąta dla środka kuli oraz dwóch przeciwległych punktów, a druga wynika z tego, że kula o promieniu d z środkiem w dowolnym punkcie w S będzie zawierała cały zbiór S. W przestrzeni metrycznej dyskretnej, to znaczy w przestrzeni, w której wszystkie odległości są równe, r=d. Z drugiej strony, w przestrzeniach hiperwklęsłych, takich jak metryka miejska na płaszczyźnie, r = d/2: dowolne dwie zamknięte kule o promieniu d/2 o środkach w S mają niepuste przecięcie, a więc wszystkie takie kule mają wspólne przecięcie, a promień d/2 kuli o środku w tym przecięciu zawiera cały zbiór S. Znane są także wersje twierdzenia Junga dla innych geometrii nieeuklidesowych (np. Dekster 1995, 1997).

Bibliografia[edytuj | edytuj kod]

  • Katz, M.. Twierdzenie Junga w rzutowej geometrii zespolonej. „Quart. J. Math. Oxford”. 36 (4), s. 451–466, 1985. DOI: 10.1093/qmath/36.4.451 (ang.). 
  • Dekster, B. V.. Twierdzenie Junga dla przestrzeni sferycznych i hiperbolicznych. „Acta Math. Sci. Hungar.”. 67 (4), s. 315–331, 1995. DOI: 10.1007/BF01874495 (ang.). 
  • Dekster, B. V.. Twierdzenie Junga w przestrzeniach metrycznych o ograniczonej z góry krzywiźnie. „Proceedings of the American Mathematical Society”. 125 (8), s. 2425–2433, 1997. DOI: 10.1090/S0002-99 (ang.). 
  • Jung, Heinrich. Über die kleinste Kugel, die eine räumliche Figur einschließt. „J. Reine Angew. Math.”. 123, s. 241–257, 1901 (ang.). 
  • Jung, Heinrich. Über den kleinsten Kreis, der eine ebene Figur einschließt. „J. Reine Angew. Math.”. 137, s. 310–313, 1910 (ang.). 
  • Rademacher, Hans, Toeplitz, Otto: The Enjoyment of Mathematics. Dover, 1990, s. chapter 16. ISBN 978-0-486-26242-0. (ang.)

Linki zewnętrzne[edytuj | edytuj kod]