Kula

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj
Ten artykuł dotyczy pojęcia matematycznego. Zobacz też: inne znaczenia słowa kula.
Definicja intuicyjna
Kula to zbiór punktów oddalonych nie bardziej niż pewna zadana odległość (promień kuli) od wybranego punktu (środek kuli).

Kula w danej przestrzeni metrycznej zbiór elementów tej przestrzeni, zdefiniowany jako:

dla pewnych które nazywamy odpowiednio środkiem i promieniem kuli.

W wielu źródłach[1][2][3] tak zdefiniowany zbiór nazywany jest kulą domkniętą dla odróżnienia od zbioru określanego jako kula otwarta i definiowanego następująco:

Informacja ogólna[edytuj]

Kula w przestrzeni euklidesowej

Intuicyjnie rozumiana kula – w przestrzeni euklidesowej trójwymiarowej dla metryki euklidesowej – jest to część przestrzeni, ograniczona sferą (sfera jest powierzchnią (brzegiem) kuli i również się w niej zawiera).

Taką kulę można wówczas opisać wzorem jako zbiór punktów, których współrzędne spełniają nierówność:

gdzie są współrzędnymi środka kuli, a oznacza jej promień.

W -wymiarowej przestrzeni euklidesowej wzór ten ma natychmiastowe uogólnienie – kula o środku w punkcie i promieniu to zbiór punktów których współrzędne spełniają nierówność:

Nietrudno zauważyć, że w dwuwymiarowej przestrzeni euklidesowej kulą jest koło, zaś w jednowymiarowej – odcinek.

Kula o środku P(2; 1,5) i promieniu r=1 w metryce miejskiej na zbiorze .

Dla innych metryk kula wyglądać będzie inaczej. Przykładowo, w przestrzeni o metryce miejskiej do kuli należą punkty, spełniające nierówność:

Natomiast w przestrzeni liter alfabetu łacińskiego, gdzie metryką byłaby odległość między poszczególnymi literami w szyku alfabetu, kulą jest np. zbiór {G, H, I} – promień tej kuli wynosi 1, a jej środkiem jest H.

Związane pojęcia[edytuj]

Cięciwa kuli to odcinek o końcach na brzegu kuli.

Średnica kuli to cięciwa przechodząca przez środek kuli. Termin ten oznacza również długość tej cięciwy – równą podwojonej długości promienia kuli. Termin ten został uogólniony na wszelkie zbiory w przestrzeni metrycznej (zobacz średnica zbioru).

Koło wielkie kuli to koło o promieniu tej kuli, o środku w środku kuli.

Wzory dla kuli w przestrzeni euklidesowej[edytuj]

  • Objętość n-wymiarowej kuli (hiperkuli) o promieniu r dana jest wzorem
  • "Pole" (n−1)-wymiarowe jej (hiper)powierzchni
  • Objętość 3-wymiarowej kuli:
  • Pole powierzchni 3-wymiarowej kuli:

W powyższych wzorach jest jedną z najsłynniejszych stałych matematycznych, szerzej opisaną w artykule Pi, zaś oznacza funkcję gamma.

Uwaga: Brzegiem n-wymiarowej kuli jest (n−1)-wymiarowa sfera.

Uogólnienie topologiczne[edytuj]

W topologii kulę definiujemy jako rozmaitość topologiczną, homeomorficzną z kulą geometryczną, zdefiniowaną jak powyżej.

Przypisy

  1. Encyklopedia dla wszystkich. Matematyka. Warszawa: Wydawnictwo Naukowo-Techniczne, 2000. ISBN 83-204-2334-1. str. 149
  2. Krzysztof Maurin: Analiza. Cz. I Elementy. Warszawa: Państwowe Wydawnictwo Naukowe, 1976, seria: Biblioteka Matematyczna Tom 38. str. 34, 38
  3. Witold Kołodziej: Wybrane rozdziały analizy matematycznej. Warszawa: Państwowe Wydawnictwo Naukowe, 1982, seria: Biblioteka Matematyczna Tom 36. str. 20, 21

Zobacz też[edytuj]