Kula

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacji, wyszukiwania
Ujednoznacznienie Ten artykuł dotyczy pojęcia matematycznego. Zobacz też: inne znaczenia słowa kula.

Definicja intuicyjna:
Kula to zbiór punktów oddalonych nie bardziej niż pewna zadana odległość (promień kuli) od wybranego punktu (środek kuli)

Kula w danej przestrzeni metrycznej (X,\rho)\, jest zbiorem elementów tej przestrzeni, zdefiniowanym jako:


\bar{K} _{\bar{o},r} = \{ \bar{p}: \rho(\bar{p},\bar{o}) \leqslant r \}

dla pewnych \bar{o}\in X,\ r>0,\, które nazywamy odpowiednio środkiem i promieniem kuli.

Informacja ogólna[edytuj | edytuj kod]

Kula w przestrzeni euklidesowej

Intuicyjnie rozumiana kula – w przestrzeni euklidesowej trójwymiarowej dla metryki euklidesowej – jest to część przestrzeni, ograniczona sferą (sfera jest powierzchnią (brzegiem) kuli i również się w niej zawiera).

Taką kulę można wówczas opisać wzorem jako zbiór punktów, których współrzędne (x,y,z) spełniają nierówność:

(x-x_0)^2+(y-y_0)^2+(z-z_0)^2\leqslant r^2,

gdzie (x_0,y_0,z_0) są współrzędnymi środka kuli, a r\, oznacza jej promień.

W n\,-wymiarowej przestrzeni euklidesowej wzór ten ma natychmiastowe uogólnienie – kula o środku w punkcie (s_1, s_2, \ldots, s_n) i promieniu r\, to zbiór punktów x=(x_1, x_2, \ldots, x_n), których współrzędne spełniają nierówność:

(x_1-s_1)^2+(x_2-s_2)^2+\ldots+(x_n-s_n)^2\leqslant r^2.

Nietrudno zauważyć, że w dwuwymiarowej przestrzeni euklidesowej kulą jest koło, zaś w jednowymiarowej – odcinek.

Kula o środku P(2; 1,5) i promieniu r=1 w metryce miejskiej na zbiorze \Bbb{R}^2.

Dla innych metryk kula wyglądać będzie inaczej. Przykładowo, w przestrzeni \Bbb{R}^2 o metryce miejskiej do kuli należą punkty, spełniające nierówność:

\left|x_1 - x_2\right| + \left|y_1 - y_2\right| \leqslant r.

Natomiast w przestrzeni liter alfabetu łacińskiego, gdzie metryką byłaby odległość między poszczególnymi literami w szyku alfabetu, kulą jest np. zbiór {G, H, I} – promień tej kuli wynosi 1, a jej środkiem jest H.

Związane pojęcia[edytuj | edytuj kod]

Cięciwa kuli to odcinek o końcach na brzegu kuli.

Średnica kuli to cięciwa przechodząca przez środek kuli. Termin ten oznacza również długość tej cięciwy – równą podwojonej długości promienia kuli. Termin ten został uogólniony na wszelkie zbiory w przestrzeni metrycznej - zobacz Średnica zbioru.

Koło wielkie kuli to koło o promieniu tej kuli, o środku w jej środku.

Wzory dla kuli w przestrzeni euklidesowej[edytuj | edytuj kod]

W powyższych wzorach \pi \approx 3{,}14159265 jest jedną z najsłynniejszych stałych matematycznych, szerzej opisaną w artykule Pi, zaś \Gamma\, oznacza funkcję gamma.

Uwaga: Brzegiem n-wymiarowej kuli jest (n−1)-wymiarowa sfera.

Uogólnienie topologiczne[edytuj | edytuj kod]

W topologii kulę definiujemy jako rozmaitość topologiczną, homeomorficzną z kulą geometryczną, zdefiniowaną jak powyżej.

Zobacz też[edytuj | edytuj kod]

WiktionaryPl nodesc.svg
Zobacz hasło kula w Wikisłowniku