Twierdzenie Margolusa-Levitina

Twierdzenie Margolusa-Levitina – twierdzenie dotyczące ewolucji stanu kwantowego w czasie.

Określa związek pomiędzy średnią energią $E_{avg}$ stanu kwantowego (dla której energia stanu podstawowego jest przyjmowana jako zerowa) a czasem $\delta t_{\perp }$ koniecznym do przejścia tego stanu do innego stanu ortogonalnego

$E_{avg}\delta t_{\perp }\geqslant \pi {\frac {\hbar }{2}},$

gdzie $\hbar ={\frac {h}{2\pi }}$ jest zredukowaną stałą Plancka.

Podobny związek

$\delta E\delta t_{\perp }\geqslant \pi {\frac {\hbar }{2}},$

gdzie $(\delta E)^{2}=\left\langle \psi |H^{2}|\psi \right\rangle -(\left\langle \psi |H|\psi \right\rangle )^{2}$ reprezentuje wariancję energii, a $H$ jest hamiltonianem, został wyprowadzony w 1944 r. przez Leonida Mandelstama i Igora Tamma.

Następnie Lev B. Levitin i Tommaso Toffoli dowiedli, że jedynym stanem, który spełnia oba te związki $(\delta E~\delta t_{\perp }=E_{avg}~\delta t_{\perp }=\pi \hbar /2))$ jest dwu-stanowy stan kwantowy (kubit) w równej superpozycji

$\left|\psi _{q}\right\rangle ={\frac {1}{\sqrt {2}}}\left(\left|0\right\rangle +\left|E_{1}\right\rangle \right)$

stanów energii $\left|0\right\rangle$ i $\left|E_{1}\right\rangle ,$ który jest unikalny z wyłączeniem degeneracji poziomu $E_{1}$ i dowolnych współczynników fazowych wektorów $\left|0\right\rangle$ i $\left|E_{1}\right\rangle .$

Udowodnili oni również, że w przypadku gdy $E_{avg}\neq \delta E,$ dla dowolnego stanu kwantowego $\left|\psi \right\rangle$ wyrażonego przez liniową superpozycję wektorów własnych energii $\left|E_{n}\right\rangle$

$\left|\psi \right\rangle =\sum _{n=0}^{\infty }c_{n}\left|E_{n}\right\rangle ,\quad {\text{gdzie}}\quad \sum _{n=0}^{\infty }|c_{n}|^{2}=1,$

interwał ortogonalizacyjny spełnia

$\delta t_{\perp }\leqslant {\frac {\pi \hbar \left(1+e^{\ln {\left|{\frac {\delta E}{E}}\right|}}\right)}{2E\left(1+{\frac {\delta E}{E}}\right)}}\left(1+\epsilon \right),\quad \forall \epsilon >0.$

Ponadto dowiedli, że dla dowolnego stanu kwantowego $\left|\psi \right\rangle$

${\frac {E_{max}}{4}}\leqslant E_{avg}\leqslant {\frac {E_{max}}{2}},$

gdzie $E_{max}$ jest największą wartością własną energii w $\left|\psi \right\rangle$ a $\pi \hbar \leqslant E_{max}\delta t_{\perp }\leqslant 2\pi \hbar .$ Ponadto, $E_{max}\delta t_{\perp }=\pi \hbar$ dla dwu-stanowego stanu kwantowego $\left|\psi _{q}\right\rangle$ przy $E_{1}=E_{max}.$

Zobacz też

• zasada nieoznaczoności