Twierdzenia o prędkości ewolucji stanu kwantowego – twierdzenia związane z fundamentalnymi ograniczeniami ewolucji kwantowej. W mechanice kwantowej określają minimalny czas konieczny, aby układ kwantowy mógł w drodze unitarnej ewolucji przejść pomiędzy dwoma ortogonalnymi stanami kwantowymi , znane również jako kwantowe ograniczenia prędkości .
Rozważmy wstępny, czysty stan kwantowy wyrażony jako superpozycja energetycznych stanów własnych
|
ψ
(
0
)
⟩
=
∑
n
c
n
|
E
n
⟩
.
{\displaystyle \left|\psi (0)\right\rangle =\sum _{n}c_{n}\left|E_{n}\right\rangle .}
Jeżeli stan
|
ψ
(
0
)
⟩
{\displaystyle \left|\psi (0)\right\rangle }
będzie ewoluował przez okres
δ
t
{\displaystyle \delta t}
zgodnie z równaniem Schrödingera stanie się stanem
|
ψ
(
δ
t
)
⟩
=
∑
n
c
n
e
−
i
E
n
δ
t
ℏ
|
E
n
⟩
,
{\displaystyle \left|\psi (\delta t)\right\rangle =\sum _{n}c_{n}e^{-i{\frac {E_{n}\delta t}{\hbar }}}\left|E_{n}\right\rangle ,}
gdzie
ℏ
=
h
2
π
{\displaystyle \hbar ={\frac {h}{2\pi }}}
jest zredukowaną stałą Plancka a
i
{\displaystyle i}
jest jednostką urojoną .
Jeżeli wstępny stan kwantowy
|
ψ
(
0
)
⟩
{\displaystyle \left|\psi (0)\right\rangle }
jest ortogonalny do stanu po ewolucji
|
ψ
(
δ
t
)
⟩
,
{\displaystyle \left|\psi (\delta t)\right\rangle ,}
wówczas
⟨
ψ
(
0
)
|
ψ
(
δ
t
)
⟩
=
0
{\displaystyle \left\langle \psi (0)|\psi (\delta t)\right\rangle =0}
a minimalny okres
δ
t
⊥
{\displaystyle \delta t_{\perp }}
konieczny do zapewnienia tego warunku jest nazywany interwałem[1] bądź czasem[2] ortogonalizacji.
Zgodnie z twierdzeniem Mandelstama-Tamma[1]
δ
E
δ
t
⊥
⩾
ℏ
π
2
{\displaystyle \delta E\delta t_{\perp }\geqslant \hbar {\frac {\pi }{2}}}
,
gdzie
(
δ
E
)
2
=
⟨
ψ
|
H
2
|
ψ
⟩
−
(
⟨
ψ
|
H
|
ψ
⟩
)
2
=
1
2
∑
n
,
m
|
c
n
|
2
|
c
m
|
2
(
E
n
−
E
m
)
2
{\displaystyle (\delta E)^{2}=\left\langle \psi |H^{2}|\psi \right\rangle -(\left\langle \psi |H|\psi \right\rangle )^{2}={\frac {1}{2}}\sum _{n,m}|c_{n}|^{2}|c_{m}|^{2}(E_{n}-E_{m})^{2}}
jest wariancją energii układu a
H
{\displaystyle H}
jest operatorem Hamiltona .
Twierdzenie to zostało udowodnione przez Leonida Mandelstama i Igora Tamma .
Dowód
Szukamy najkrótszego interwału
δ
t
⊥
{\displaystyle \delta t_{\perp }}
takiego, aby
|
S
(
δ
t
⊥
)
|
2
=
|
⟨
ψ
(
0
)
|
ψ
(
δ
t
⊥
)
⟩
|
2
=
0
{\displaystyle |S(\delta t_{\perp })|^{2}=|\left\langle \psi (0)|\psi (\delta t_{\perp })\right\rangle |^{2}=0}
.
Korzystając z wzoru Eulera i faktu, że sinus jest funkcją nieparzystą mamy
|
S
(
δ
t
)
|
2
=
|
⟨
ψ
(
0
)
|
ψ
(
δ
t
)
⟩
|
2
=
∑
n
,
m
|
c
n
|
2
|
c
m
|
2
e
−
i
δ
t
ℏ
(
E
n
−
E
m
)
=
=
∑
n
,
m
|
c
n
|
2
|
c
m
|
2
cos
(
δ
t
ℏ
(
E
n
−
E
m
)
)
{\displaystyle {\begin{aligned}|S(\delta t)|^{2}&=|\left\langle \psi (0)|\psi (\delta t)\right\rangle |^{2}=\sum _{n,m}|c_{n}|^{2}|c_{m}|^{2}e^{-i{\frac {\delta t}{\hbar }}\left(E_{n}-E_{m}\right)}=\\&=\sum _{n,m}|c_{n}|^{2}|c_{m}|^{2}\cos \left({\frac {\delta t}{\hbar }}\left(E_{n}-E_{m}\right)\right)\end{aligned}}}
.
Zauważamy[2] , że
|
S
(
δ
t
)
|
2
⩾
1
−
4
π
2
∑
n
,
m
|
c
n
|
2
|
c
m
|
2
δ
t
ℏ
(
E
n
−
E
m
)
sin
(
δ
t
ℏ
(
E
n
−
E
m
)
)
−
2
π
2
∑
n
,
m
|
c
n
|
2
|
c
m
|
2
(
δ
t
ℏ
(
E
n
−
E
m
)
)
2
{\displaystyle {\begin{aligned}|S(\delta t)|^{2}&\geqslant 1-{\frac {4}{\pi ^{2}}}\sum _{n,m}|c_{n}|^{2}|c_{m}|^{2}{\frac {\delta t}{\hbar }}\left(E_{n}-E_{m}\right)\sin \left({\frac {\delta t}{\hbar }}\left(E_{n}-E_{m}\right)\right)\\&-{\frac {2}{\pi ^{2}}}\sum _{n,m}|c_{n}|^{2}|c_{m}|^{2}\left({\frac {\delta t}{\hbar }}\left(E_{n}-E_{m}\right)\right)^{2}\end{aligned}}}
,
ponieważ
cos
(
x
)
⩾
1
−
4
π
2
x
sin
(
x
)
−
2
π
2
x
2
,
{\displaystyle \cos(x)\geqslant 1-{\frac {4}{\pi ^{2}}}x\sin(x)-{\frac {2}{\pi ^{2}}}x^{2},}
∀
x
∈
R
{\displaystyle \forall x\in \mathbb {R} }
.
Zauważamy, że
d
|
S
(
δ
t
)
|
2
d
δ
t
=
−
∑
n
,
m
|
c
n
|
2
|
c
m
|
2
sin
(
δ
t
ℏ
(
E
n
−
E
m
)
)
E
n
−
E
m
ℏ
{\displaystyle {\frac {d|S(\delta t)|^{2}}{d\delta t}}=-\sum _{n,m}|c_{n}|^{2}|c_{m}|^{2}\sin \left({\frac {\delta t}{\hbar }}\left(E_{n}-E_{m}\right)\right){\frac {E_{n}-E_{m}}{\hbar }}}
.
Tym samym
|
S
(
δ
t
)
|
2
⩾
1
+
4
π
2
δ
t
d
|
S
(
δ
t
)
|
2
d
δ
t
−
1
π
2
(
2
δ
t
ℏ
δ
E
)
2
{\displaystyle |S(\delta t)|^{2}\geqslant 1+{\frac {4}{\pi ^{2}}}\delta t{\frac {d|S(\delta t)|^{2}}{d\delta t}}-{\frac {1}{\pi ^{2}}}\left({\frac {2\delta t}{\hbar }}\delta E\right)^{2}}
.
Ponieważ
|
S
(
δ
t
)
|
2
⩾
0
{\displaystyle |S(\delta t)|^{2}\geqslant 0}
więc
d
|
S
(
δ
t
)
|
2
d
δ
t
=
0
{\displaystyle {\frac {d|S(\delta t)|^{2}}{d\delta t}}=0}
jeżeli
S
(
δ
t
)
=
0.
{\displaystyle S(\delta t)=0.}
zatem drugi wyraz zanika dla
δ
t
=
δ
t
⊥
{\displaystyle \delta t=\delta t_{\perp }}
oraz
0
⩾
1
−
1
π
2
4
δ
t
⊥
2
ℏ
2
(
δ
E
)
2
{\displaystyle 0\geqslant 1-{\frac {1}{\pi ^{2}}}{\frac {4\delta t_{\perp }^{2}}{\hbar ^{2}}}\left(\delta E\right)^{2}}
.
Jedynym stanem, dla którego powyższa nierówność jest równaniem jest kubit
|
ψ
q
⟩
=
1
2
(
|
0
⟩
+
|
E
1
⟩
)
{\displaystyle \left|\psi _{q}\right\rangle ={\frac {1}{\sqrt {2}}}\left(\left|0\right\rangle +\left|E_{1}\right\rangle \right)}
o zrównoważonej superpozycji energetycznych stanów własnych
|
E
0
⟩
=
|
0
⟩
{\displaystyle \left|E_{0}\right\rangle =\left|0\right\rangle }
oraz
|
E
1
⟩
{\displaystyle \left|E_{1}\right\rangle }
.
Dowód
Wymagamy, aby
cos
(
x
)
=
1
−
4
π
2
x
sin
(
x
)
−
2
π
2
x
2
{\displaystyle \cos(x)=1-{\frac {4}{\pi ^{2}}}x\sin(x)-{\frac {2}{\pi ^{2}}}x^{2}}
, czyli
x
=
0
{\displaystyle x=0}
lub
x
=
±
π
{\displaystyle x=\pm \pi }
. Tym samym
δ
t
⊥
ℏ
(
E
n
−
E
m
)
=
0
lub
δ
t
⊥
ℏ
(
E
n
−
E
m
)
=
±
π
∀
n
,
m
,
c
n
≠
0
,
c
m
≠
0
{\displaystyle {\frac {\delta t_{\perp }}{\hbar }}\left(E_{n}-E_{m}\right)=0\quad {\text{lub}}\quad {\frac {\delta t_{\perp }}{\hbar }}\left(E_{n}-E_{m}\right)=\pm \pi \quad \forall n,m,c_{n}\neq 0,c_{m}\neq 0}
,
co zachodzi jedynie dla dwóch energetycznych stanów własnych
E
0
=
0
{\displaystyle E_{0}=0}
oraz
E
1
=
±
π
ℏ
δ
t
⊥
{\displaystyle E_{1}=\pm {\frac {\pi \hbar }{\delta t_{\perp }}}}
, czyli dla stanu
|
ψ
q
⟩
=
1
2
(
e
i
φ
0
|
0
⟩
+
e
i
φ
1
|
±
π
ℏ
δ
t
⊥
⟩
)
{\displaystyle \left|\psi _{q}\right\rangle ={\frac {1}{\sqrt {2}}}\left(e^{i\varphi _{0}}\left|0\right\rangle +e^{i\varphi _{1}}\left|\pm {\frac {\pi \hbar }{\delta t_{\perp }}}\right\rangle \right)}
unikalnego z wyłączeniem degeneracji energii
E
1
{\displaystyle E_{1}}
oraz dowolnych współczynników fazowych
φ
0
{\displaystyle \varphi _{0}}
i
φ
1
{\displaystyle \varphi _{1}}
stanów własnych[2] .
Zgodnie z twierdzeniem Margolusa–Levitina[3]
E
a
v
g
δ
t
⊥
⩾
ℏ
π
2
{\displaystyle E_{avg}\delta t_{\perp }\geqslant \hbar {\frac {\pi }{2}}}
,
gdzie
E
a
v
g
=
⟨
ψ
|
H
|
ψ
⟩
=
∑
n
|
c
n
|
2
E
n
{\displaystyle E_{avg}=\left\langle \psi |H|\psi \right\rangle =\sum _{n}|c_{n}|^{2}E_{n}}
jest średnią energią układu a
H
{\displaystyle H}
jest operatorem operatorem Hamiltona .
Twierdzenie to zostało udowodnione przez Normana Margolusa i Lwa Levitina .
Wykresy zależności trygonometrycznych zastosowanych w nierównościach twierdzeń Mandelstama-Tamma i Margolusa–Levitina
Jedynym stanem, dla którego powyższa nierówność jest równaniem jest kubit
|
ψ
q
⟩
=
1
2
(
|
0
⟩
+
|
E
1
⟩
)
{\displaystyle \left|\psi _{q}\right\rangle ={\frac {1}{\sqrt {2}}}\left(\left|0\right\rangle +\left|E_{1}\right\rangle \right)}
o zrównoważonej superpozycji energetycznych stanów własnych
|
E
0
⟩
=
|
0
⟩
{\displaystyle \left|E_{0}\right\rangle =\left|0\right\rangle }
oraz
|
E
1
⟩
{\displaystyle \left|E_{1}\right\rangle }
.
Twierdzenia powiązane z twierdzeniami Mandelstama-Tamma i Margolusa–Levitina zostały udowodnione[2] w 2009 przez Lwa Levitina i Tommaso Toffoliego .
W przypadku, gdy
E
a
v
g
≠
δ
E
{\displaystyle E_{avg}\neq \delta E}
interwał ortogonalizacji spełnia
δ
t
⊥
⩽
π
ℏ
(
1
+
e
ln
|
δ
E
E
a
v
g
|
)
2
E
a
v
g
(
1
+
δ
E
E
a
v
g
)
(
1
+
ϵ
)
=
π
ℏ
2
E
a
v
g
(
1
+
ϵ
)
,
∀
ϵ
>
0
{\displaystyle \delta t_{\perp }\leqslant {\frac {\pi \hbar \left(1+e^{\ln {\left|{\frac {\delta E}{E_{avg}}}\right|}}\right)}{2E_{avg}\left(1+{\frac {\delta E}{E_{avg}}}\right)}}\left(1+\epsilon \right)={\frac {\pi \hbar }{2E_{avg}}}\left(1+\epsilon \right),\quad \forall \epsilon >0}
.
Dla każdego stanu kwantowego
|
ψ
⟩
{\displaystyle \left|\psi \right\rangle }
zachodzi
E
m
a
x
4
<
E
a
v
g
⩽
E
m
a
x
2
{\displaystyle {\frac {E_{max}}{4}}<E_{avg}\leqslant {\frac {E_{max}}{2}}}
,
gdzie
E
m
a
x
{\displaystyle E_{max}}
jest maksymalną wartością własną tego stanu oraz
π
ℏ
⩽
E
m
a
x
δ
t
⊥
<
2
π
ℏ
{\displaystyle \pi \hbar \leqslant E_{max}\delta t_{\perp }<2\pi \hbar }
.
Ponadto
π
ℏ
=
E
m
a
x
δ
t
⊥
{\displaystyle \pi \hbar =E_{max}\delta t_{\perp }}
dla kubitu
|
ψ
q
⟩
=
1
2
(
|
0
⟩
+
|
E
m
a
x
⟩
)
{\displaystyle \left|\psi _{q}\right\rangle ={\frac {1}{\sqrt {2}}}\left(\left|0\right\rangle +\left|E_{max}\right\rangle \right)}
o zrównoważonej superpozycji.
↑ a b Leonid L. Mandelstam Leonid L. , Igor I. Tamm Igor I. , The Uncertainty Relation Between Energy and Time in Non-relativistic Quantum Mechanics , t. 9, J. Phys. (USSR), 1945, s. 222–228, DOI : 10.1007/978-3-642-74626-0_8 .
↑ a b c d e f g h i Lev B. L.B. Levitin Lev B. L.B. , Tommaso T. Toffoli Tommaso T. , Fundamental Limit on the Rate of Quantum Dynamics: The Unified Bound Is Tight , „Physical Review Letters”, 16, 103, 2009, s. 160502, DOI : 10.1103/PhysRevLett.103.160502 , ISSN 0031-9007 , PMID : 19905679 , Bibcode : 2009PhRvL.103p0502L , arXiv :0905.3417 .
↑ Norman N. Margolus Norman N. , Lev B. L.B. Levitin Lev B. L.B. , The maximum speed of dynamical evolution , „Physica D”, 1–2, 120, 1998, s. 188–195, DOI : 10.1016/S0167-2789(98)00054-2 , Bibcode : 1998PhyD..120..188M , arXiv :quant-ph/9710043 .