Wzór Eulera

Trójwymiarowa ilustracja wzoru Eulera

Wzór Eulera – wzór analizy zespolonej wiążący funkcje trygonometryczne z zespoloną funkcją wykładniczą określany nazwiskiem Leonharda Eulera.

Wzór

Niech $x \in \mathbb R$, zaś $\ i$ jest jednostką urojoną, wtedy wzór Eulera ma postać

$e^{ix} = \cos x + i\sin x\,$.

Historia

Wzór Eulera został dowiedziony po raz pierwszy przez Rogera Cotesa w 1714 w postaci

$\ln(\cos x + i\sin x) = ix \,$

Euler był pierwszym, który opublikował go w obecnie stosowanej formie w 1748, opierając swój dowód na równości szeregów po obu stronach tożsamości. Żaden z nich nie widział interpretacji geometrycznej tego wzoru: utożsamienie liczb zespolonych z płaszczyzną zespoloną powstało około 50 lat później (wynik Caspara Wessela).

Dowód

Wzór można otrzymać określając potęgi zespolone liczby e. Rozwinięte w szereg potęgowy funkcje $\ e^x, \sin x, \cos x$ przyjmują wtedy postać:

$e^x = 1 + x + {x^2 \over 2!} + {x^3 \over 3!} + {x^4 \over 4!} + \dots$,

$\sin x = x - {x^3 \over 3!} + {x^5 \over 5!} - \dots$,

$\cos x = 1 - {x^2 \over 2!} + {x^4 \over 4!} - \dots$.

Powyższe definicje są poprawne również dla liczb zespolonych, gdyż promień zbieżności każdego z szeregów jest nieskończony. Aby odróżnić przypadek rzeczywisty od zespolonego za $x \in \mathbb R$ podstawione zostanie $z \in \mathbb C$.

Potęgę $e^{iz}$ definiuje następujący wzór:

$e^{iz} = 1 + iz + {(iz)^2 \over 2!} + {(iz)^3 \over 3!} + {(iz)^4 \over 4!} + \dots = \left(1 - {z^2 \over 2!} + {z^4 \over 4!} - \dots \right) + i\left(z - {z^3 \over 3!} + {z^5 \over 5!} - \dots \right)$,

czyli $e^{iz} = \cos z + i\sin z$.

Ponieważ każdy z szeregów jest zbieżny bezwzględnie, to można zmieniać kolejność wyrazów bez zmiany sumy szeregu. Powrót do liczb rzeczywistych za pomocą podstawienia $z \mapsto x \in \mathbb R$ daje oryginalną tożsamość odkrytą przez Eulera.

Inne uzasadnienie formuły

Niech $f\colon \mathbb R \to \mathbb C$ będzie dana przez $f(x) = \cos(x) + i\sin(x)\,$. Wówczas

$f'(x) = i\cos(x) - \sin(x) = i(\cos (x) + i\sin(x)) = if(x)\,.$

Następnie niech $g(x) = e^{-ix}f(x)$. Wtedy

$g'(x) = e^{-ix}(f'(x) - if(x)) = 0\,$

dla każdego $x$, a stąd $g$ jest funkcją stałą. Ponieważ

$g(0) = e^{-i\cdot 0}f(0) = \cos(0) + i\sin(0) = 1\,,$

mamy $g(x) = 1$ dla wszystkich $x$. Stąd też $f(x)=g(x)e^{ix}=e^{ix}$, czyli

$e^{ix} = \cos(x) + i\sin(x)\,$.

Przy okazji warto zauważyć, że jest to postać trygonometryczna liczby zespolonej o module jednostkowym.

Trygonometria

Wzór Eulera stanowi powiązanie analizy i trygonometrii dostarczając interpretację funkcji sinus i cosinus jako sum ważonych funkcji wykładniczej. Odpowiednie wzory można wyprowadzić budując odpowiedni układ równań:

$\begin{cases} e^{ix} = \cos x + i\sin x \\ e^{-ix} = \cos (-x) + i\sin (-x) \end{cases}$.

Korzystając z własności parzystości i nieparzystości funkcji trygonometrycznych:

$\begin{cases} e^{ix} = \cos x + i\sin x \\ e^{-ix} = \cos x - i\sin x \end{cases}$.

Po dodaniu stronami:

$e^{ix} + e^{-ix} = 2 \cos x$

$\cos x = \frac{e^{ix} + e^{-ix}}{2}$

Analogicznie otrzymuje się wzór:

$\sin x = {e^{ix} - e^{-ix} \over 2i}$.

Wzory te mogą służyć jako definicje funkcji trygonometrycznych dla argumentów zespolonych. Przykładowo podstawienie $x = iy$ daje:

$\cos(iy) = {e^{-y} + e^{y} \over 2} = \cosh y$,

$\sin(iy) = {e^{-y} - e^{y} \over 2i} = i\sinh y$.

Zastosowanie

Tożsamość może zostać wykorzystana jako metoda do upraszczania wyrażeń trygonometrycznych. Wymaga ona co prawda przejścia w rachunkach przez liczby zespolone, ale nie wymaga żadnej wiedzy na ich temat oprócz pamiętania, że $i^2=-1$ i znajomości poniższych trzech wzorów (funkcje tangens i cotangens określa się tak samo jak w przypadku rzeczywistym):

$\sin x = \tfrac{e^{ix} - e^{-ix}}{2i}$

$\cos x = \tfrac{e^{ix} + e^{-ix}}{2}$

$e^{ix} = \cos x + i\sin x\,$

Najpierw należy przekształcić upraszczany wzór za pomocą dwóch pierwszych wzorów na postać wykładniczą (w przypadku tangensa i cotangensa rozbijając go na iloraz funkcji sinus i cosinus), następnie wykonać odpowiednie działania tak, jak na zwykłych potęgach liczb rzeczywistych, a na koniec stosując jeden z wzorów Eulera wrócić do postaci trygonometrycznej wyrażenia.

Przykłady

Sinus kąta zwielokrotnionego

Dla całkowitych dodatnich $n$ wyrażenia postaci $\sin nx$ dają się wyrazić za pomocą samych wartości $\sin x$ i $\cos x$ oraz elementarnych działań.

Korzystając z powyższych wzorów:

$\sin nx = \frac{e^{inx} - e^{-inx}}{2i} = \frac{(e^{ix})^{n} - (e^{-ix})^n}{2i}$

Ze wzoru Eulera:

$\sin nx = \frac{(\cos{x} + i \sin{x})^{n} - (\cos{x} - i \sin{x})^n}{2i}$

Z dwumianu Newtona:

$\sin nx = \sum\limits_{k=0}^n {n \choose k} \frac{\cos{x}^k (i \sin{x})^{n-k} - \cos{x}^k (-i \sin{x})^{n-k}}{2i}$

Wyłączając wspólny czynnik:

$\sin nx = \sum\limits_{k=0}^n {n \choose k} \cos{x}^k \sin{x}^{n-k} \frac{i^{n-k} - (-i)^{n-k}}{2i}$

I stosując wzór Eulera dostajemy ostatecznie

$\sin nx = \sum\limits_{k=0}^n {n \choose k} \cos{x}^k \sin{x}^{n-k} \sin{\frac{(n-k)\pi}{2}}$

Kilka pierwszych wielokrotności:

$\sin 2x = 2 \cos x \sin x$

$\sin 3x = 3 \cos^2 x \sin x - \sin^3 x$

$\sin 4x = 4 \cos^3 x \sin x - 4 \cos x \sin^3 x$

$\sin 5x = 5 \cos^4 x \sin x - 10 \cos^2 x \sin^3 x + \sin^5 x$

Upraszczanie wyrażeń trygonometrycznych

Sprowadzić do prostszej postaci wyrażenie:

$f(x)=8 \cos^3 x \sin x - 4 \cos x\sin x$

Korzystając ze wzorów Eulera na sinus i cosinus:

$f(x)=8\left( \frac{e^{ix} + e^{-ix}}{2}\right) ^3 \frac{e^{ix} - e^{-ix}}{2i}-4\frac{e^{ix} + e^{-ix}}{2}\cdot \frac{e^{ix} - e^{-ix}}{2i}$

Po wymnożeniu jest:

$f(x)=(e^{3ix}+3e^{2ix}e^{-ix}+3e^{ix}e^{-2ix}+ e^{-3ix})\frac{e^{ix} - e^{-ix}}{2i}-\frac{2e^{2ix}-2e^{-2ix}}{2i}$

i dalej:

$f(x)= \frac{e^{4ix}+3e^{2ix}+3+ e^{-2ix}-e^{2ix}-3-3e^{-2ix}-e^{-4ix}}{2i} -\frac{2e^{2ix}-2e^{-2ix}}{2i}$,

po skróceniu:

$f(x)= \frac{e^{4ix}-e^{-4ix}}{2i}$,

dlatego po zastosowaniu pierwszego z podanych wzorów Eulera wyrażenie ma postać:

$f(x)=\sin 4x$

Całkowanie funkcji trygonometrycznych przy pomocy wzoru Eulera

Obliczyć całkę:

$\int \sin^2 x \cos 4x \, dx.$

Podstawiając odpowiednie wzory Eulera na sinus i cosinus oraz wymnażając:

$\begin{align} \int \sin^2 x \cos 4x \, dx \, &=\, \int \left(\frac{e^{ix}-e^{-ix}}{2i}\right)^2\left(\frac{e^{4ix}+e^{-4ix}}{2}\right) dx \\[6pt] &=\, -\frac{1}{8}\int \left(e^{2ix} - 2 + e^{-2ix}\right)\left(e^{4ix}+e^{-4ix}\right) dx \\[6pt] &=\, -\frac{1}{8}\int \left(e^{6ix} - 2e^{4ix} + e^{2ix} + e^{-2ix} - 2e^{-4ix} + e^{-6ix}\right) dx.\\ &=\, -\frac{1}{8}\int \left(\left(e^{6ix} + e^{-6ix}\right) - 2\left(e^{4ix} + e^{-4ix}\right) +\left( e^{2ix} + e^{-2ix}\right) \right) dx.\\ &=\, -\frac{1}{8}\int \left(2\cos 6x - 2\cdot2\cos 4x + 2\cos 2x \right) dx.\\\end{align}$

W tym miejscu wyrażenie można było scałkować, a dopiero potem zwinąć je do wzorów na sinus i cosinus. Obie metody dają to samo rozwiązanie:

$\int \sin^2 x \cos 4x \, dx \,=\, -\frac{1}{24}\sin 6x + \frac{1}{8}\sin 4x - \frac{1}{8}\sin 2x + C.$

Całkowanie funkcji przy pomocy wzoru Eulera i wykorzystanie części rzeczywistej liczby zespolonej

Użycie wzoru Eulera pozwala na całkowanie również innych funkcji, w których pojawiają się wzory trygonometryczne, jak na przykład:

$\int e^x \cos x \, dx.$

ponieważ $\cos x$ jest częścią rzeczywistą $e^{ix}$ możemy zapisać

$\int e^x \cos x \, dx \,=\, \operatorname{Re}\int e^x e^{ix}\, dx.$

Całka po prawej stronie jest łatwa do wyliczenia:

$\int e^x e^{ix} \, dx \,=\, \int e^{(1+i)x}\,dx \,=\, \frac{e^{(1+i)x}}{1+i} + C.$

A zatem:

$\begin{align} \int e^x \cos x \, dx \,&=\, \operatorname{Re}\left\{\frac{e^{(1+i)x}}{1+i}\right\} + C \\[6pt] &=\, e^x\operatorname{Re}\left\{\frac{e^{ix}}{1+i}\right\} +C \\[6pt] &=\, e^x\operatorname{Re}\left\{\frac{e^{ix}(1-i)}{2}\right\} +C \\[6pt] &=\, e^x\,\frac{\cos x + \sin x}{2} +C. \end{align}$

Metody te pomagają przy wyznaczaniu kolejnych współczynników szeregów Fouriera, w których występują całki postaci $\int_{-a}^{a} f(x)\sin nx dx$ i $\int_{-a}^{a} f(x)\cos nx dx$.

Tożsamość Eulera

Funkcja wykładnicza e^z może być zdefiniowana jako granica ciągu (1+z/N)^N, przy N dążącym do nieskończoności. Powyżej kładziemy z=iπ i rozważamy wartości N od 1 do 100. Obliczanie wartości (1+iπ / N)^N jest przedstawione jako N-krotne powtórzenie mnożenia na płaszczyźnie zespolonej (gdzie ostatni punkt to wartość (1+iπ / N)^N). Zauważmy, że ze zwiększaniem liczby N, liczba zespolona (1+iπ / N)^N zbliża się do -1. Zatem e^iπ=-1.

W szczególności, podstawiając $x = \pi$ otrzymuje się równość:

$e^{\pi i} + 1 = 0$,

nazywaną też tożsamością Eulera (czasami wzorem Eulera).

Nie istnieją żadne znane dokumenty potwierdzające autorstwo Eulera; co więcej, była ona zapewne znana matematykom żyjącym przed nim.

„Najpiękniejszy wzór”

Tożsamość Eulera nazywana jest często najpiękniejszym wzorem matematycznym. Wykorzystane są w niej trzy działania arytmetyczne: dodawanie, mnożenie i potęgowanie. Tożsamość łączy pięć fundamentalnych stałych matematycznych:

• liczbę 0,
• liczbę 1,
• liczbę π,
• liczbę e,
• liczbę i, jednostkę urojoną liczb zespolonych.

Dodatkowo każde z powyższych działań oraz każda ze stałych użyte są dokładnie raz, co więcej: wzór ten jest przedstawiony w zwyczajowej formie równania, którego prawa strona jest zerem.

Uogólnienie

Tożsamość Eulera jest przypadkiem szczególnym ogólniejszej tożsamości, w której pierwiastki z jedynki $n$-tego stopnia sumują się do $0$ dla $n > 1$:

$\sum_{k=0}^{n-1} e^\frac{2\pi i k}{n} = 0$.

Tożsamość Eulera otrzymuje się przez podstawienie $n = 2$. Powyższą równość można zapisać i w postaci:

$\sum_{k=0}^{n} e^\frac{2\pi i k}{n} = 1$.

ponieważ: $\exp(2\pi i )=1$.

Zobacz też

• liczby zespolone
• funkcja wykładnicza
• logarytm naturalny
• stała Gelfonda