Trójwymiarowa ilustracja wzoru Eulera
 |
Ten artykuł dotyczy wzoru Eulera w analizie zespolonej. Zobacz też: inne znaczenia. |
Wzór Eulera – wzór analizy zespolonej wiążący funkcje trygonometryczne z zespoloną funkcją wykładniczą, określany nazwiskiem Leonharda Eulera.
Niech
zaś
jest jednostką urojoną, wtedy wzór Eulera ma postać[1]:
.
Wzór Eulera został dowiedziony po raz pierwszy przez Rogera Cotesa w 1714 w postaci

Euler jako pierwszy opublikował go w formie „standardowej” – tej, która później stała się najczętszą. Zrobił to w 1748, opierając swój dowód na równości szeregów po obu stronach tożsamości. Żaden z nich nie podał interpretacji geometrycznej tego wzoru: utożsamienie liczb zespolonych z płaszczyzną zespoloną powstało około 50 lat później (wynik Caspara Wessela).
Rozwinięte w szereg potęgowy funkcje
przyjmują postać[2]:



Powyższe wzory służą jako definicje zespolonych funkcji exp, sin i cos, tzn. definiuje się funkcje:
[3],
[4],
[4].
Definicje te są poprawne, ponieważ szeregi występujące po prawej stronie są zbieżne dla każdego
gdyż kryteria zbieżności szeregów takie jak kryterium d’Alemberta i kryterium Cauchy’ego pozostają prawdziwe dla liczb zespolonych[5].
W szczególności mamy:
gdzie skorzystaliśmy z tego, że:
- jeżeli szeregi
oraz
są zbieżne, to zbieżny jest również szereg
oraz:
(addytywność);
- jeżeli szereg
jest zbieżny, to również szereg
jest zbieżny, oraz
gdzie c jest stałą (jednorodność).
Powrót do liczb rzeczywistych za pomocą podstawienia
daje oryginalną tożsamość opisaną przez Eulera.
- Inne uzasadnienie formuły
Niech
będzie dana przez
Wówczas

Następnie niech
Wtedy

dla każdego
a stąd
jest funkcją stałą. Ponieważ

mamy
dla wszystkich
Stąd też
czyli

Przy okazji warto zauważyć, że jest to postać trygonometryczna liczby zespolonej o module jednostkowym.
Wzór Eulera stanowi powiązanie analizy i trygonometrii, dostarczając interpretację funkcji sinus i cosinus jako sum ważonych funkcji wykładniczej. Odpowiednie wzory można wyprowadzić, budując odpowiedni układ równań:

Korzystając z własności parzystości i nieparzystości funkcji trygonometrycznych:

Po dodaniu stronami:


Analogicznie otrzymuje się wzór:

Wzory te mogą służyć jako definicje funkcji trygonometrycznych dla argumentów zespolonych. Przykładowo podstawienie
daje:


Tożsamość może zostać wykorzystana jako metoda do upraszczania wyrażeń trygonometrycznych. Wymaga ona co prawda przejścia w rachunkach przez liczby zespolone, ale nie wymaga żadnej wiedzy na ich temat oprócz pamiętania, że
i znajomości poniższych trzech wzorów (funkcje tangens i cotangens określa się tak samo jak w przypadku rzeczywistym):



Najpierw należy przekształcić upraszczany wzór za pomocą dwóch pierwszych wzorów na postać wykładniczą (w przypadku tangensa i cotangensa, rozbijając go na iloraz funkcji sinus i cosinus), następnie wykonać odpowiednie działania tak, jak na zwykłych potęgach liczb rzeczywistych, a na koniec stosując jeden z wzorów Eulera, wrócić do postaci trygonometrycznej wyrażenia.
- Sinus kąta zwielokrotnionego
Dla całkowitych dodatnich
wyrażenia postaci
dają się wyrazić za pomocą samych wartości
i
oraz elementarnych działań.
Korzystając z powyższych wzorów:

Ze wzoru Eulera:

Z dwumianu Newtona:

Wyłączając wspólny czynnik:

i stosując wzór Eulera, dostajemy ostatecznie

Kilka pierwszych wielokrotności:




- Upraszczanie wyrażeń trygonometrycznych
Sprowadzić do prostszej postaci wyrażenie:

Korzystając ze wzorów Eulera na sinus i cosinus:

Po wymnożeniu jest:

i dalej:

po skróceniu:

dlatego po zastosowaniu pierwszego z podanych wzorów Eulera wyrażenie ma postać:

- Całkowanie funkcji trygonometrycznych przy pomocy wzoru Eulera
Obliczyć całkę:

Podstawiając odpowiednie wzory Eulera na sinus i cosinus oraz wymnażając:
![{\displaystyle {\begin{aligned}\int \sin ^{2}x\cos 4x\,dx\,&=\,\int \left({\frac {e^{ix}-e^{-ix}}{2i}}\right)^{2}\left({\frac {e^{4ix}+e^{-4ix}}{2}}\right)dx\\[6pt]&=\,-{\frac {1}{8}}\int \left(e^{2ix}-2+e^{-2ix}\right)\left(e^{4ix}+e^{-4ix}\right)dx\\[6pt]&=\,-{\frac {1}{8}}\int \left(e^{6ix}-2e^{4ix}+e^{2ix}+e^{-2ix}-2e^{-4ix}+e^{-6ix}\right)dx.\\&=\,-{\frac {1}{8}}\int \left(\left(e^{6ix}+e^{-6ix}\right)-2\left(e^{4ix}+e^{-4ix}\right)+\left(e^{2ix}+e^{-2ix}\right)\right)dx.\\&=\,-{\frac {1}{8}}\int \left(2\cos 6x-2\cdot 2\cos 4x+2\cos 2x\right)dx.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a17c89ccb13917ed5c07e9b2a67cf46cb1fae3e4)
W tym miejscu wyrażenie można było scałkować, a dopiero potem zwinąć je do wzorów na sinus i cosinus. Obie metody dają to samo rozwiązanie:

- Całkowanie funkcji przy pomocy wzoru Eulera i wykorzystanie części rzeczywistej liczby zespolonej
Użycie wzoru Eulera pozwala na całkowanie również innych funkcji, w których pojawiają się wzory trygonometryczne, jak na przykład:

ponieważ
jest częścią rzeczywistą
możemy zapisać

Całka po prawej stronie jest łatwa do wyliczenia:

A zatem:
![{\displaystyle {\begin{aligned}\int e^{x}\cos x\,dx\,&=\,\operatorname {Re} \left\{{\frac {e^{(1+i)x}}{1+i}}\right\}+C\\[6pt]&=\,e^{x}\operatorname {Re} \left\{{\frac {e^{ix}}{1+i}}\right\}+C\\[6pt]&=\,e^{x}\operatorname {Re} \left\{{\frac {e^{ix}(1-i)}{2}}\right\}+C\\[6pt]&=\,e^{x}\,{\frac {\cos x+\sin x}{2}}+C.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1dc4afb6935fe5fc0f58807c6d3f575fb05d07d2)
Metody te pomagają przy wyznaczaniu kolejnych współczynników szeregów Fouriera[6], w których występują całki postaci
i
Funkcja
wykładnicza ez może być zdefiniowana jako
granica ciągu (1+
z/N)
N, przy N dążącym do nieskończoności. Powyżej kładziemy
z=iπ i rozważamy wartości N od 1 do 100. Obliczanie wartości (1+
iπ / N)
N jest przedstawione jako N-krotne powtórzenie mnożenia na
płaszczyźnie zespolonej (gdzie ostatni punkt to wartość (1+
iπ / N)
N). Zauważmy, że ze zwiększaniem liczby N, liczba zespolona (1+
iπ / N)
N zbliża się do −1. Zatem
eiπ=-1.
W szczególności, podstawiając
otrzymuje się równość:

nazywaną też tożsamością Eulera (czasami wzorem Eulera).
Nie istnieją żadne znane dokumenty potwierdzające autorstwo Eulera; co więcej, była ona zapewne znana matematykom żyjącym przed nim.
Tożsamość Eulera nazywana jest często najpiękniejszym wzorem matematycznym. Wykorzystane są w niej trzy działania arytmetyczne: dodawanie, mnożenie i potęgowanie. Tożsamość łączy pięć fundamentalnych stałych matematycznych:
Dodatkowo każde z powyższych działań oraz każda ze stałych użyte są dokładnie raz, co więcej: wzór ten jest przedstawiony w zwyczajowej formie równania, którego prawa strona jest zerem.
Tożsamość Eulera jest przypadkiem szczególnym ogólniejszej tożsamości, w której pierwiastki z jedynki
-tego stopnia sumują się do
dla

Tożsamość Eulera otrzymuje się przez podstawienie
Powyższą równość można zapisać i w postaci:

ponieważ: