Wzór Eulera

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj
Euler's formula.svg
Trójwymiarowa ilustracja wzoru Eulera
Ten artykuł dotyczy wzoru Eulera w analizie zespolonej. Zobacz też: inne znaczenia.

Wzór Eulera – wzór analizy zespolonej wiążący funkcje trygonometryczne z zespoloną funkcją wykładniczą określany nazwiskiem Leonharda Eulera.

Wzór[edytuj]

Niech , zaś jest jednostką urojoną, wtedy wzór Eulera ma postać

.

Historia[edytuj]

Wzór Eulera został dowiedziony po raz pierwszy przez Rogera Cotesa w 1714 w postaci

Euler był pierwszym, który opublikował go w obecnie stosowanej formie w 1748, opierając swój dowód na równości szeregów po obu stronach tożsamości. Żaden z nich nie widział interpretacji geometrycznej tego wzoru: utożsamienie liczb zespolonych z płaszczyzną zespoloną powstało około 50 lat później (wynik Caspara Wessela).

Dowód[edytuj]

Rozwinięte w szereg potęgowy funkcje przyjmują postać:

[1],
[1],
[1].

Powyższe wzory służą jako definicje zespolonych funkcji exp, sin i cos, tzn. definiuje się funkcje:

[2]
[3],
[3].

Definicje te są poprawne, ponieważ szeregi występujące po prawej stronie są zbieżne dla każdego , gdyż kryteria zbieżności szeregów takie jak kryterium d'Alemberta i kryterium Cauchy'ego pozostają prawdziwe dla liczb zespolonych[4].

W szczególności mamy:

gdzie skorzystaliśmy z tego, że jeżeli szeregi oraz są zbieżne, to zbieżny jest również szereg , oraz: , a także z tego że jeżeli szereg jest zbieżny, to również szereg jest zbieżny, oraz , gdzie c jest stałą. Powrót do liczb rzeczywistych za pomocą podstawienia daje oryginalną tożsamość odkrytą przez Eulera.

Inne uzasadnienie formuły

Niech będzie dana przez . Wówczas

Następnie niech . Wtedy

dla każdego , a stąd jest funkcją stałą. Ponieważ

mamy dla wszystkich . Stąd też , czyli

.

Przy okazji warto zauważyć, że jest to postać trygonometryczna liczby zespolonej o module jednostkowym.

Trygonometria[edytuj]

Wzór Eulera stanowi powiązanie analizy i trygonometrii dostarczając interpretację funkcji sinus i cosinus jako sum ważonych funkcji wykładniczej. Odpowiednie wzory można wyprowadzić budując odpowiedni układ równań:

.

Korzystając z własności parzystości i nieparzystości funkcji trygonometrycznych:

.

Po dodaniu stronami:

Analogicznie otrzymuje się wzór:

.

Wzory te mogą służyć jako definicje funkcji trygonometrycznych dla argumentów zespolonych. Przykładowo podstawienie daje:

,
.

Zastosowanie[edytuj]

Tożsamość może zostać wykorzystana jako metoda do upraszczania wyrażeń trygonometrycznych. Wymaga ona co prawda przejścia w rachunkach przez liczby zespolone, ale nie wymaga żadnej wiedzy na ich temat oprócz pamiętania, że i znajomości poniższych trzech wzorów (funkcje tangens i cotangens określa się tak samo jak w przypadku rzeczywistym):

Najpierw należy przekształcić upraszczany wzór za pomocą dwóch pierwszych wzorów na postać wykładniczą (w przypadku tangensa i cotangensa rozbijając go na iloraz funkcji sinus i cosinus), następnie wykonać odpowiednie działania tak, jak na zwykłych potęgach liczb rzeczywistych, a na koniec stosując jeden z wzorów Eulera wrócić do postaci trygonometrycznej wyrażenia.

Przykłady[edytuj]

Sinus kąta zwielokrotnionego

Dla całkowitych dodatnich wyrażenia postaci dają się wyrazić za pomocą samych wartości i oraz elementarnych działań.

Korzystając z powyższych wzorów:

Ze wzoru Eulera:

Z dwumianu Newtona:

Wyłączając wspólny czynnik:

I stosując wzór Eulera dostajemy ostatecznie

Kilka pierwszych wielokrotności:

Upraszczanie wyrażeń trygonometrycznych

Sprowadzić do prostszej postaci wyrażenie:

Korzystając ze wzorów Eulera na sinus i cosinus:

Po wymnożeniu jest:

i dalej:

,

po skróceniu:

,

dlatego po zastosowaniu pierwszego z podanych wzorów Eulera wyrażenie ma postać:

Całkowanie funkcji trygonometrycznych przy pomocy wzoru Eulera

Obliczyć całkę:

Podstawiając odpowiednie wzory Eulera na sinus i cosinus oraz wymnażając:

W tym miejscu wyrażenie można było scałkować, a dopiero potem zwinąć je do wzorów na sinus i cosinus. Obie metody dają to samo rozwiązanie:

Całkowanie funkcji przy pomocy wzoru Eulera i wykorzystanie części rzeczywistej liczby zespolonej

Użycie wzoru Eulera pozwala na całkowanie również innych funkcji, w których pojawiają się wzory trygonometryczne, jak na przykład:

ponieważ jest częścią rzeczywistą możemy zapisać

Całka po prawej stronie jest łatwa do wyliczenia:

A zatem:

Metody te pomagają przy wyznaczaniu kolejnych współczynników szeregów Fouriera[5], w których występują całki postaci i .

Tożsamość Eulera[edytuj]

Funkcja wykładnicza ez może być zdefiniowana jako granica ciągu (1+z/N)N, przy N dążącym do nieskończoności. Powyżej kładziemy z=iπ i rozważamy wartości N od 1 do 100. Obliczanie wartości (1+ / N)N jest przedstawione jako N-krotne powtórzenie mnożenia na płaszczyźnie zespolonej (gdzie ostatni punkt to wartość (1+ / N)N). Zauważmy, że ze zwiększaniem liczby N, liczba zespolona (1+ / N)N zbliża się do -1. Zatem e=-1.

W szczególności, podstawiając otrzymuje się równość:

,

nazywaną też tożsamością Eulera (czasami wzorem Eulera).

Nie istnieją żadne znane dokumenty potwierdzające autorstwo Eulera; co więcej, była ona zapewne znana matematykom żyjącym przed nim.

„Najpiękniejszy wzór”[edytuj]

Tożsamość Eulera nazywana jest często najpiękniejszym wzorem matematycznym. Wykorzystane są w niej trzy działania arytmetyczne: dodawanie, mnożenie i potęgowanie. Tożsamość łączy pięć fundamentalnych stałych matematycznych:

Dodatkowo każde z powyższych działań oraz każda ze stałych użyte są dokładnie raz, co więcej: wzór ten jest przedstawiony w zwyczajowej formie równania, którego prawa strona jest zerem.

Uogólnienie[edytuj]

Tożsamość Eulera jest przypadkiem szczególnym ogólniejszej tożsamości, w której pierwiastki z jedynki -tego stopnia sumują się do dla :

.

Tożsamość Eulera otrzymuje się przez podstawienie . Powyższą równość można zapisać i w postaci:

.

ponieważ: .

Zobacz też[edytuj]

Przypisy

  1. a b c L.L. Górniewicz L.L., R. S.R. S. Ingarden R. S.R. S., Analiza matematyczna dla fizyków, Toruń: Wydawnictwo Naukowe UMK, 2012, s. 129.
  2. L.L. Górniewicz L.L., R. S.R. S. Ingarden R. S.R. S., Analiza matematyczna dla fizyków, Toruń: Wydawnictwo Naukowe UMK, 2012, s. 491.
  3. a b L.L. Górniewicz L.L., R. S.R. S. Ingarden R. S.R. S., Analiza matematyczna dla fizyków, Toruń: Wydawnictwo Naukowe UMK, 2012, s. 492.
  4. L.L. Górniewicz L.L., R. S.R. S. Ingarden R. S.R. S., Analiza matematyczna dla fizyków, Toruń: Wydawnictwo Naukowe UMK, 2012, s. 482.
  5. G.I. Zaporożec: Metody rozwiązywania zadań z analizy matematycznej. Warszawa: WNT, 1973, s. 460-461.