Wzór Eulera

Trójwymiarowa ilustracja wzoru Eulera

Wzór Eulera – wzór analizy zespolonej wiążący funkcje trygonometryczne z zespoloną funkcją wykładniczą, określany nazwiskiem Leonharda Eulera.

Wzór

Niech $x\in \mathbb {R} ,$ zaś $i$ jest jednostką urojoną, wtedy wzór Eulera ma postać

$e^{ix}=\cos x+i\sin x.$

Historia

Wzór Eulera został dowiedziony po raz pierwszy przez Rogera Cotesa w 1714 w postaci

$\ln(\cos x+i\sin x)=ix$

Euler był pierwszym, który opublikował go w obecnie stosowanej formie w 1748, opierając swój dowód na równości szeregów po obu stronach tożsamości. Żaden z nich nie widział interpretacji geometrycznej tego wzoru: utożsamienie liczb zespolonych z płaszczyzną zespoloną powstało około 50 lat później (wynik Caspara Wessela).

Dowód

Rozwinięte w szereg potęgowy funkcje $e^{x},\sin x,\cos x$ przyjmują postać:

$e^{x}=1+x+{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}+\dots =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{n}}{n!}}$,

$\sin x=x-{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}-\dots =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}x^{2n+1}}{(2n+1)!}}$,

$\cos x=1-{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}-\dots =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}x^{2n}}{(2n)!}}$.

Powyższe wzory służą jako definicje zespolonych funkcji exp, sin i cos, tzn. definiuje się funkcje:

$\exp :\mathbb {C} \rightarrow \mathbb {C} ,\ \exp z:=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {z^{n}}{n!}}$

$\sin :\ \mathbb {C} \rightarrow \mathbb {C} ,\ \sin z:=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}z^{2n+1}}{(2n+1)!}}$,

$\cos :\mathbb {C} \rightarrow \mathbb {C} ,\ \cos z:=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}z^{2n}}{(2n)!}}$.

Definicje te są poprawne, ponieważ szeregi występujące po prawej stronie są zbieżne dla każdego $z\in \mathbb {C} ,$ gdyż kryteria zbieżności szeregów takie jak kryterium d’Alemberta i kryterium Cauchy’ego pozostają prawdziwe dla liczb zespolonych.

W szczególności mamy: $e^{iz}=1+iz+{\frac {(iz)^{2}}{2!}}+{\frac {(iz)^{3}}{3!}}+{\frac {(iz)^{4}}{4!}}+\dots =\left(1-{\frac {z^{2}}{2!}}+{\frac {z^{4}}{4!}}-\dots \right)+i\left(z-{\frac {z^{3}}{3!}}+{\frac {z^{5}}{5!}}-\dots \right)=\cos z+i\sin z$

gdzie skorzystaliśmy z tego, że jeżeli szeregi $\sum _{n}a_{n}$ oraz $\sum _{n}b_{n}$ są zbieżne, to zbieżny jest również szereg $\sum _{n}(a_{n}+b_{n}),$ oraz: $\sum _{n=0}^{\infty }(a_{n}+b_{n})=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}+\sum _{n=0}^{\infty }b_{n},$ a także z tego że jeżeli szereg $\sum _{n}a_{n}$ jest zbieżny, to również szereg $\sum _{n}ca_{n}$ jest zbieżny, oraz $\sum _{n=0}^{\infty }ca_{n}=c\sum _{n=0}^{\infty }a_{n},$ gdzie c jest stałą. Powrót do liczb rzeczywistych za pomocą podstawienia $z\mapsto x\in \mathbb {R}$ daje oryginalną tożsamość odkrytą przez Eulera.

Inne uzasadnienie formuły

Niech $f\colon \mathbb {R} \to \mathbb {C}$ będzie dana przez $f(x)=\cos(x)+i\sin(x).$ Wówczas

$f'(x)=i\cos(x)-\sin(x)=i(\cos(x)+i\sin(x))=if(x).$

Następnie niech $g(x)=e^{-ix}f(x).$ Wtedy

$g'(x)=e^{-ix}(f'(x)-if(x))=0$

dla każdego $x,$ a stąd $g$ jest funkcją stałą. Ponieważ

$g(0)=e^{-i\cdot 0}f(0)=\cos(0)+i\sin(0)=1,$

mamy $g(x)=1$ dla wszystkich $x.$ Stąd też $f(x)=g(x)e^{ix}=e^{ix},$ czyli

$e^{ix}=\cos(x)+i\sin(x).$

Przy okazji warto zauważyć, że jest to postać trygonometryczna liczby zespolonej o module jednostkowym.

Trygonometria

Wzór Eulera stanowi powiązanie analizy i trygonometrii dostarczając interpretację funkcji sinus i cosinus jako sum ważonych funkcji wykładniczej. Odpowiednie wzory można wyprowadzić budując odpowiedni układ równań:

${\begin{cases}e^{ix}=\cos x+i\sin x\\e^{-ix}=\cos(-x)+i\sin(-x)\end{cases}}.$

Korzystając z własności parzystości i nieparzystości funkcji trygonometrycznych:

${\begin{cases}e^{ix}=\cos x+i\sin x\\e^{-ix}=\cos x-i\sin x\end{cases}}.$

Po dodaniu stronami:

$e^{ix}+e^{-ix}=2\cos x$

$\cos x={\frac {e^{ix}+e^{-ix}}{2}}$

Analogicznie otrzymuje się wzór:

$\sin x={\frac {e^{ix}-e^{-ix}}{2i}}.$

Wzory te mogą służyć jako definicje funkcji trygonometrycznych dla argumentów zespolonych. Przykładowo podstawienie $x=iy$ daje:

$\cos(iy)={\frac {e^{-y}+e^{y}}{2}}=\cosh y,$

$\sin(iy)={\frac {e^{-y}-e^{y}}{2i}}=i\sinh y.$

Zastosowanie

Tożsamość może zostać wykorzystana jako metoda do upraszczania wyrażeń trygonometrycznych. Wymaga ona co prawda przejścia w rachunkach przez liczby zespolone, ale nie wymaga żadnej wiedzy na ich temat oprócz pamiętania, że $i^{2}=-1$ i znajomości poniższych trzech wzorów (funkcje tangens i cotangens określa się tak samo jak w przypadku rzeczywistym):

$\sin x={\tfrac {e^{ix}-e^{-ix}}{2i}}$

$\cos x={\tfrac {e^{ix}+e^{-ix}}{2}}$

$e^{ix}=\cos x+i\sin x$

Najpierw należy przekształcić upraszczany wzór za pomocą dwóch pierwszych wzorów na postać wykładniczą (w przypadku tangensa i cotangensa rozbijając go na iloraz funkcji sinus i cosinus), następnie wykonać odpowiednie działania tak, jak na zwykłych potęgach liczb rzeczywistych, a na koniec stosując jeden z wzorów Eulera wrócić do postaci trygonometrycznej wyrażenia.

Przykłady

Sinus kąta zwielokrotnionego

Dla całkowitych dodatnich $n$ wyrażenia postaci $\sin nx$ dają się wyrazić za pomocą samych wartości $\sin x$ i $\cos x$ oraz elementarnych działań.

Korzystając z powyższych wzorów:

$\sin nx={\frac {e^{inx}-e^{-inx}}{2i}}={\frac {(e^{ix})^{n}-(e^{-ix})^{n}}{2i}}$

Ze wzoru Eulera:

$\sin nx={\frac {(\cos {x}+i\sin {x})^{n}-(\cos {x}-i\sin {x})^{n}}{2i}}$

Z dwumianu Newtona:

$\sin nx=\sum \limits _{k=0}^{n}{n \choose k}{\frac {\cos {x}^{k}(i\sin {x})^{n-k}-\cos {x}^{k}(-i\sin {x})^{n-k}}{2i}}$

Wyłączając wspólny czynnik:

$\sin nx=\sum \limits _{k=0}^{n}{n \choose k}\cos {x}^{k}\sin {x}^{n-k}{\frac {i^{n-k}-(-i)^{n-k}}{2i}}$

I stosując wzór Eulera dostajemy ostatecznie

$\sin nx=\sum \limits _{k=0}^{n}{n \choose k}\cos {x}^{k}\sin {x}^{n-k}\sin {\frac {(n-k)\pi }{2}}$

Kilka pierwszych wielokrotności:

$\sin 2x=2\cos x\sin x$

$\sin 3x=3\cos ^{2}x\sin x-\sin ^{3}x$

$\sin 4x=4\cos ^{3}x\sin x-4\cos x\sin ^{3}x$

$\sin 5x=5\cos ^{4}x\sin x-10\cos ^{2}x\sin ^{3}x+\sin ^{5}x$

Upraszczanie wyrażeń trygonometrycznych

Sprowadzić do prostszej postaci wyrażenie:

$f(x)=8\cos ^{3}x\sin x-4\cos x\sin x$

Korzystając ze wzorów Eulera na sinus i cosinus:

$f(x)=8\left({\frac {e^{ix}+e^{-ix}}{2}}\right)^{3}{\frac {e^{ix}-e^{-ix}}{2i}}-4{\frac {e^{ix}+e^{-ix}}{2}}\cdot {\frac {e^{ix}-e^{-ix}}{2i}}$

Po wymnożeniu jest:

$f(x)=(e^{3ix}+3e^{2ix}e^{-ix}+3e^{ix}e^{-2ix}+e^{-3ix}){\frac {e^{ix}-e^{-ix}}{2i}}-{\frac {2e^{2ix}-2e^{-2ix}}{2i}}$

i dalej:

$f(x)={\frac {e^{4ix}+3e^{2ix}+3+e^{-2ix}-e^{2ix}-3-3e^{-2ix}-e^{-4ix}}{2i}}-{\frac {2e^{2ix}-2e^{-2ix}}{2i}},$

po skróceniu:

$f(x)={\frac {e^{4ix}-e^{-4ix}}{2i}},$

dlatego po zastosowaniu pierwszego z podanych wzorów Eulera wyrażenie ma postać:

$f(x)=\sin 4x$

Całkowanie funkcji trygonometrycznych przy pomocy wzoru Eulera

Obliczyć całkę:

$\int \sin ^{2}x\cos 4x\,dx.$

Podstawiając odpowiednie wzory Eulera na sinus i cosinus oraz wymnażając:

${\begin{aligned}\int \sin ^{2}x\cos 4x\,dx\,&=\,\int \left({\frac {e^{ix}-e^{-ix}}{2i}}\right)^{2}\left({\frac {e^{4ix}+e^{-4ix}}{2}}\right)dx\\[6pt]&=\,-{\frac {1}{8}}\int \left(e^{2ix}-2+e^{-2ix}\right)\left(e^{4ix}+e^{-4ix}\right)dx\\[6pt]&=\,-{\frac {1}{8}}\int \left(e^{6ix}-2e^{4ix}+e^{2ix}+e^{-2ix}-2e^{-4ix}+e^{-6ix}\right)dx.\\&=\,-{\frac {1}{8}}\int \left(\left(e^{6ix}+e^{-6ix}\right)-2\left(e^{4ix}+e^{-4ix}\right)+\left(e^{2ix}+e^{-2ix}\right)\right)dx.\\&=\,-{\frac {1}{8}}\int \left(2\cos 6x-2\cdot 2\cos 4x+2\cos 2x\right)dx.\\\end{aligned}}$

W tym miejscu wyrażenie można było scałkować, a dopiero potem zwinąć je do wzorów na sinus i cosinus. Obie metody dają to samo rozwiązanie:

$\int \sin ^{2}x\cos 4x\,dx\,=\,-{\frac {1}{24}}\sin 6x+{\frac {1}{8}}\sin 4x-{\frac {1}{8}}\sin 2x+C.$

Całkowanie funkcji przy pomocy wzoru Eulera i wykorzystanie części rzeczywistej liczby zespolonej

Użycie wzoru Eulera pozwala na całkowanie również innych funkcji, w których pojawiają się wzory trygonometryczne, jak na przykład:

$\int e^{x}\cos x\,dx.$

ponieważ $\cos x$ jest częścią rzeczywistą $e^{ix}$ możemy zapisać

$\int e^{x}\cos x\,dx\,=\,\operatorname {Re} \int e^{x}e^{ix}\,dx.$

Całka po prawej stronie jest łatwa do wyliczenia:

$\int e^{x}e^{ix}\,dx\,=\,\int e^{(1+i)x}\,dx\,=\,{\frac {e^{(1+i)x}}{1+i}}+C.$

A zatem:

${\begin{aligned}\int e^{x}\cos x\,dx\,&=\,\operatorname {Re} \left\{{\frac {e^{(1+i)x}}{1+i}}\right\}+C\\[6pt]&=\,e^{x}\operatorname {Re} \left\{{\frac {e^{ix}}{1+i}}\right\}+C\\[6pt]&=\,e^{x}\operatorname {Re} \left\{{\frac {e^{ix}(1-i)}{2}}\right\}+C\\[6pt]&=\,e^{x}\,{\frac {\cos x+\sin x}{2}}+C.\end{aligned}}$

Metody te pomagają przy wyznaczaniu kolejnych współczynników szeregów Fouriera, w których występują całki postaci $\int _{-a}^{a}f(x)\sin nxdx$ i $\int _{-a}^{a}f(x)\cos nxdx.$

Tożsamość Eulera

Funkcja wykładnicza e^z może być zdefiniowana jako granica ciągu (1+z/N)^N, przy N dążącym do nieskończoności. Powyżej kładziemy z=iπ i rozważamy wartości N od 1 do 100. Obliczanie wartości (1+iπ / N)^N jest przedstawione jako N-krotne powtórzenie mnożenia na płaszczyźnie zespolonej (gdzie ostatni punkt to wartość (1+iπ / N)^N). Zauważmy, że ze zwiększaniem liczby N, liczba zespolona (1+iπ / N)^N zbliża się do -1. Zatem e^iπ=-1.

W szczególności, podstawiając $x=\pi$ otrzymuje się równość:

$e^{\pi i}+1=0,$

nazywaną też tożsamością Eulera (czasami wzorem Eulera).

Nie istnieją żadne znane dokumenty potwierdzające autorstwo Eulera; co więcej, była ona zapewne znana matematykom żyjącym przed nim.

„Najpiękniejszy wzór”

Tożsamość Eulera nazywana jest często najpiękniejszym wzorem matematycznym. Wykorzystane są w niej trzy działania arytmetyczne: dodawanie, mnożenie i potęgowanie. Tożsamość łączy pięć fundamentalnych stałych matematycznych:

• liczbę 0,
• liczbę 1,
• liczbę π,
• liczbę e,
• liczbę i, jednostkę urojoną liczb zespolonych.

Dodatkowo każde z powyższych działań oraz każda ze stałych użyte są dokładnie raz, co więcej: wzór ten jest przedstawiony w zwyczajowej formie równania, którego prawa strona jest zerem.

Uogólnienie

Tożsamość Eulera jest przypadkiem szczególnym ogólniejszej tożsamości, w której pierwiastki z jedynki $n$-tego stopnia sumują się do $0$ dla $n>1$:

$\sum _{k=0}^{n-1}e^{\frac {2\pi ik}{n}}=0.$

Tożsamość Eulera otrzymuje się przez podstawienie $n=2.$ Powyższą równość można zapisać i w postaci:

$\sum _{k=0}^{n}e^{\frac {2\pi ik}{n}}=1.$

ponieważ: $\exp(2\pi i)=1.$

Zobacz też

• funkcja wykładnicza
• liczby zespolone
• logarytm naturalny
• stała Gelfonda