Operator Hamiltona

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Operator Hamiltona (hamiltonian, operator energii) – operator definiowany w mechanice kwantowej, będący odpowiednikiem funkcji Hamiltona (hamiltonianu) mechaniki klasycznej.

Operator Hamiltona działa na wektory stanu układu kwantowego, tworzące przestrzeń Hilberta i reprezentujące wszystkie możliwe stany układu fizycznego.

Operator Hamiltona ma fundamentalne znaczenie w mechanice kwantowej, gdyż stanowi podstawowy składnik równania Schrödingera: jego działanie na wektor stanu układu jest równe pochodnej czasowej tego wektora (z dokładnością do stałej ), tj.

gdzie

  • - stała Plancka podzielona przez
  • - jednostka urojona

Postać operatora Hamiltona zależy od

(1) rodzaju opisywanego układu

(2) rodzaju pól fizycznych, działających na układ (np. cząstka swobodna, cząstka w polu grawitacyjnym, elektrycznym, magnetycznym); przy tym pola mogą być stacjonarne lub zmienne w czasie, mogą posiadać jakąś symetrię (np. sferyczną, walcową). Istnienie symetrii pozwala na wybór odpowiedniego układu współrzędnych do zapisu operatora Hamiltona, co później upraszcza równanie Schrödingera.

Zapisanie operatora Hamiltona w jawnej postaci, w wybranej bazie przestrzeni Hilberta, właściwej dla danego układu kwantowego, pozwala znaleźć z równania  Schrödingera zależność czasową wektora stanu, co stanowi podstawowe zadanie obliczeniowe mechaniki kwantowej.

Metoda tworzenia operatora Hamiltona[edytuj]

Aby uzyskać postać operatora Hamiltona dla danego układu, należy napisać klasyczną funkcję Hamiltona (hamiltonian)

gdzie  - współrzędne uogólnione,   - pędy uogólnione,  - liczba stopni swobody układu, - czas.

Następnie zamienia się współrzędne uogólnione i pędy na odpowiadające im operatory. Najprościej dokonuje się tego, gdy współrzędnymi uogólnionymi są współrzędne kartezjańskie : wtedy pędom przypisuje się operatory różniczkowania po sprzężonych z nimi współrzędnych

zaś współrzędne pozostawia się bez zmian. Aby otrzymać postać operatora Hamiltona w innym układzie współrzędnych wystarczy dokonać odpowiedniej transformacji operatora zapisanego w układzie kartezjańskim. Opisana metoda uzyskania operatora Hamiltona nazywa się pierwszym kwantowaniem.

Ponieważ funkcja Hamiltona istnieje tylko dla układów oddziałujących z polem sił potencjalnych (w tym sił potencjalnych uogólnionych), więc operator Hamiltona można napisać tylko dla takich układów. Jednak wyczerpuje to wszystkie interesujące przypadki rozpatrywane w mechanice kwantowej.

Hamiltonian pojedynczej cząstki[edytuj]

Jeżeli cząstka o masie ma energię potencjalną zależną od jednej współrzędnej przestrzennej x oraz czasu t, to funkcja Hamiltona jest sumą jej energii kinetycznej i energii potencjalnej:

gdzie - pęd cząstki w kierunku osi

(Np. cząstka o masie m w polu grawitacyjnym Ziemi ma energię potencjalną , gdzie - położenie cząstki nad poziomem odniesienia.) Operator Hamiltona uzyskany z wcześniej opisanego procesu kwantowania ma postać

gdzie
  • - operator pędu w kierunku osi
  • - kwadrat operator pędu w kierunku osi

Hamiltonian elektronu w polu centralnym - zagadnienie atomu wodoru[edytuj]

Opis atomu wodoru w mechanice kwantowej: zakładamy, że elektron o ładunku i masie znajduje się w polu oddziaływania protonu - cząstki znacznie masywniejszej i ładunku . Funkcja Hamiltona elektronu (suma energii kinetycznej i energii potencjalnej) ma postać

gdzie
  • - pęd elektronu
  • - energia potencjalna oddziaływań elektrycznych elektronu i protonu (energia ta zależy od odległości r cząstek, a nie zależy czasu t).

(Pomijamy tu funkcję Hamiltona protonu - jest to pewne przybliżenie. Dokładne rozwiązanie powinno uwzględnić także funkcję Hamiltona protonu). Aby dokonać kwantowania funkcji Hamiltona zapisujemy pęd w układzie współrzędnych kartezjańskich

i zastępujemy pędy operatorami , otrzymując operator pędu:

gdzie - operator Laplace'a.

Dalej, zapisując operator Laplace'a we współrzędnych sferycznych otrzymamy:

Stąd mamy ostatecznie Hamiltonian:

Wstawiając ten Hamiltonian do równania Schrödingera i rozwiązując je otrzymamy np. energie dozwolone elektronu w atomie wodoru i odpowiadające im funkcje falowe; rozwiązanie to tłumaczy w sposób teoretyczny obserwowane doświadczalnie widmo promieniowania wodoru.

Hamiltonian układu N cząstek[edytuj]

Dla układu N cząstek opisywanych przez wektor o 3N współrzędnych kartezjańskich operator Hamiltona ma postać

gdzie:

  • - masa i - tej cząstki
  • - operator pędu i - tej cząstki
  • - potencjał pola sił lub potencjał uogólniony pola sił w położeniu w przestrzeni konfiguracyjnej układu
  • - operator Laplace'a działający na i - tą cząstkę

Hamiltonian zależny od czasu. Ogólne równanie Schrödingera[edytuj]

Jeżeli klasyczna funkcja Hamiltona opisująca dany układ jest zależna od czasu, to także operator Hamiltona zależy od czasu.

Wtedy z ogólnego równanie Schrödingera

otrzymuje się stan układu kwantowego

gdzie:

  • - operator unitarny ewolucji czasowej,
  • - wektor stanu (w obrazie Schrödingera),
  • - wektor stanu w chwili początkowej .

Hamiltonian niezależny od czasu – równanie własne[edytuj]

Jeżeli klasyczna funkcja Hamiltona opisująca dany układ jest niezależna od czasu, to także operator Hamiltona nie zależy od czasu. Wtedy zamiast ogólnego równania Schrödingera wystarczy rozwiązać równania Schrödingera niezależne od czasu, które jest równaniem własnym hamiltonianu

gdzie

  • - wartości własne operatora Hamiltona; wartości te są wartościami energii, jakie układ może posiadać,
  • - stany własne operatora Hamiltona o energiach .

Operator Hamiltona jest obserwablą, co znaczy że jego wartości własne są wielkościami mierzalnymi. Ponieważ wielkości mierzalne są liczbami rzeczywistymi, to operator Hamiltona musi być operatorem hermitowskim (operatorem samosprzężonym)

Wartość średnia operatora Hamiltona jest średnią energią układu (średnią statystyczną) opisanego danym stanie kwantowym. Wartość ta zależy od tego, jakie funkcje własne energii i z jakimi wagami wchodzą w superpozycję, tworząc stan układu. Rozkłada się stan układu w bazie stanów własnych operatora Hamiltona

Wielkości są prawdopodobieństwami zmierzenia układu w stanie o energii . Stąd wartość średnia energii zmierzona na zespole statystycznym identycznie przygotowanych układów kwantowych (tj. opisywanych takim samym wektorem stanu )wynosi

Bibliografia[edytuj]

Cohen-Tannoudji, Claude, Bernard Diu, Franck Laloë, Quantum Mechanics, Hermann, New York 1977, vol I.