Operator Hamiltona

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj
Mechanika kwantowa
Quantum intro pic-smaller.png
\Delta x\, \Delta p \ge \frac{\hbar}{2}
Zasada nieoznaczoności Heisenberga
Równanie Schrödingera
Wstęp
Aparat matematyczny
Koncepcje podstawowe
Funkcja falowa  ·

Stan kwantowy  · Stan podstawowy  · Stan stacjonarny  · Równanie własne  · Cząstka w pudle potencjału  · Cząstki identyczne  · Kwantowy oscylator harmoniczny  · Spin  · Superpozycja  · Liczby kwantowe  · Splątanie kwantowe  · Pomiar  · Nieoznaczoność  · Reguła Pauliego  · Dualizm korpuskularno-falowy  · Dekoherencja kwantowa  · Twierdzenie Ehrenfesta  · Tunelowanie

Znani uczeni
Planck  · Bohr  · Sommerfeld  · Bose  · Kramers  · Heisenberg  · Born  · Jordan  · Pauli  · Dirac  · de Broglie  · Schrödinger  · von Neumann  · Wigner  · Feynman  · Candlin  · Bohm  · Everett  · Bell  · Wien

Operator Hamiltona (hamiltonian, operator energii) – operator definiowany w mechanice kwantowej, będący odpowiednikiem funkcji Hamiltona (hamiltonianu) mechaniki klasycznej. Postać operatora Hamiltona zależy od rodzaju układu, dla którego operator ten jest określany. Operator Hamiltona działa na wektory stanu układu kwantowego, tworzące przestrzeń Hilberta i reprezentujące wszystkie możliwe stany układu fizycznego.

Operator Hamiltona ma podstawowe znaczenie w mechanice kwantowej, gdyż napisanie jego jawnej postaci, właściwej dla danego układu kwantowego, pozwala napisać równania Schrödingera; jego działanie na wektor stanu układu jest równe pochodnej czasowej tego wektora.

Metoda tworzenia operatora Hamiltona[edytuj | edytuj kod]

Aby uzyskać postać operatora Hamiltona dla danego układu, należy napisać klasyczną funkcję Hamiltona (Hamiltonian)

H = H\left( q_1, \dots, q_N, p_1, \dots, p_N, t \right)

gdzie  q_j - współrzędne uogólnione,   p_j - pędy uogólnione, N - liczba stopni swobody układu, t - czas.

Następnie zamienia się współrzędne uogólnione i pędy na odpowiadające im operatory. Najprościej dokonuje się tego, gdy współrzędnymi uogólnionymi są współrzędne kartezjańskie: wtedy pędom przypisuje się operatory różniczkowania po sprzężonych z nimi współrzędnych

p_i\to \hat p_i={\partial\over \partial x_i}

zaś współrzędne pozostawia się bez zmian. Aby otrzymać postać operatora Hamiltona w innym układzie współrzędnych wystarczy dokonać odpowiedniej transformacji operatora zapisanego w układzie kartezjańskim. Opisana metoda uzyskania operatora Hamiltona nazywa się pierwszym kwantowaniem.

Ponieważ funkcja Hamiltona istnieje tylko dla układów oddziałujących z polem sił potencjalnych (w tym sił potencjalnych uogólnionych), więc operator Hamiltona można napisać tylko dla takich układów. Jednak wyczerpuje to wszystkie interesujące przypadki rozpatrywane w mechanice kwantowej.

Hamiltonian pojedynczej cząstki[edytuj | edytuj kod]

Jeżeli cząstka o masie m znajduje się w polu o potencjale V(x,t) zależnym od 1 współrzędnej przestrzennej x oraz czasu t, to funkcja Hamiltona jest sumą energii kinetycznej i potencjału w postaci

H(x,p_x,t)=\frac{p_x^2}{2m}+V(x,t)

Operator Hamiltona uzyskany z powyżej opisanego procesu kwantowania ma postać

\hat H(x,p_x,t)=\frac{\hat p_x^2}{2m}+V(x,t)
=
\frac{-\hbar^2}{2m}{\partial^2\over \partial x^2}+V(x,t)

Hamiltonian elektronu w polu centralnym[edytuj | edytuj kod]

Hamiltonian dla elektronu w atomie wodoru zapisany w układzie współrzędnych sferycznych r, \phi, \theta ma postać:

\hat{H} = -\frac{\hbar^{2}}{2m} \left[
\frac{\partial ^{2}}{\partial r^{2}} +
\frac{1}{r^{2}} \frac{1}{\sin \theta} \frac{\partial}{\partial \theta} \left( \sin \theta \frac{\partial}{\partial \theta}
\right) +
\frac{1}{r^{2}} \frac{1}{\sin ^{2} \theta} \frac{\partial ^{2}}{\partial \phi ^{2}}
\right]
- \frac{1}{4\pi \epsilon _{0} } \frac{e^{2}}{r}
gdzie
  • m - masa elektronu
  • e - ładunek elektronu i protonu

Wyrażenie w nawiasie kwadratowym jest operatorem Laplace'a w sferycznym układzie współrzędnych, natomiast potencjał jest potencjałem kulombowskim, niezależnym od czasu. Operator ten zależy więc od 3 współrzędnych uogólnionych.

Hamiltonian układu N cząstek[edytuj | edytuj kod]

Dla układu N cząstek opisywanych przez wektor o 3N współrzędnych kartezjańskich \vec x=(x_{1}, \ldots, x_{3N}) ogólna postać operatora Hamiltona ma postać:

\hat{H} = \sum ^{N}_{i=1} \frac{\hat{p}_{i}^{2}}{2m_i} + V(x_{1}, \ldots, x_{3N},t) = -\frac{\hbar^2}{2m_i}\Delta_i + V(\vec{x},t)

gdzie:

Hamiltonian zależny od czasu. Ogólne równanie Schrödingera[edytuj | edytuj kod]

Jeżeli klasyczna funkcja Hamiltona opisująca dany układ jest zależna od czasu, wtedy też operator Hamiltona \hat H(t) zależy od czasu.

Wtedy z ogólnego równanie Schrödingera

i \hbar \frac{d}{dt} \vert \Psi(t) \rangle = \hat H(t) \vert \Psi(t) \rangle

otrzymuje się stan układu kwantowego

\vert\Psi(t)\rangle = U(t)\vert\Psi(t_{0})\rangle

gdzie:

Hamiltonian niezależny od czasu. Równanie na wartości własne.[edytuj | edytuj kod]

Jeżeli klasyczna funkcja Hamiltona opisująca dany układ jest niezależna od czasu, wtedy operator Hamiltona \hat H nie zależy od czasu i zamiast ogólnego równania Schrödingera wystarczy rozwiązać równania Schrödingera niezależne od czasu, które jest równaniem na wartości własne hamiltonianu

\hat H(t) \vert \psi_E \rangle
=E |\psi_E \rangle

gdzie

Operator Hamiltona jest obserwablą, co znaczy że jego wartości własne są wielkościami mierzalnymi. Ponieważ wielkości mierzalne są liczbami rzeczywistymi, to operator Hamiltona musi być operatorem hermitowskim (operatorem samosprzężonym)

\hat H^{\dagger} = \hat H

Wartość średnia operatora Hamiltona jest średnią energią układu (średnią statystyczną) opisanego danym stanie kwantowym. Wartość ta zależy od tego, jakie funkcja własne energii i z jakimi wagami wchodzą w superpozycje, tworząc stan układu. Rozkłada się stan układu w bazie stanów własnych operatora Hamiltona

|\Psi(t) \rangle
=\sum_E |\psi_E \rangle \langle\psi_E |\Psi(t)\rangle

Wielkości P_E=| \langle\psi_E |\Psi(t)\rangle|^2 prawdopodobieństwa mi zmierzenia układu w stanie o energii E . Stąd wartość średnia energii zmierzona na zespole statystycznym identycznie przygotowanych układów kwantowych wynosi

<\hat H>
=\sum_E E |\langle\psi_E |\Psi(t)\rangle|^2

Bibliografia[edytuj | edytuj kod]

Cohen-Tannoudji, Claude, Bernard Diu, Franck Laloë, Quantum Mechanics, Hermann, New York 1977, vol I.