Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Ten artykuł należy dopracować: potrzebna definicja nieformalna. Dokładniejsze informacje o tym, co należy poprawić, być może znajdują się w dyskusji tego artykułu . Po wyeliminowaniu niedoskonałości należy usunąć szablon {{Dopracować}} z tego artykułu.
Wariacja kwadratowa a. wahanie kwadratowe (procesu stochastycznego ) – pojęcie analizy stochastycznej używane w analizie ruchu Browna i innych martyngałów .
Niech
X
=
(
X
t
)
t
⩾
0
{\displaystyle X=(X_{t})_{t\geqslant 0}}
przestrzeni probabilistycznej . Jeżeli dla każdego
t
{\displaystyle t}
zbieżności według prawdopodobieństwa
[
X
]
t
=
lim
‖
Π
‖
→
0
∑
k
=
1
n
(
X
t
k
−
X
t
k
−
1
)
2
,
{\displaystyle [X]_{t}=\lim _{\|\Pi \|\to 0}\sum _{k=1}^{n}(X_{t_{k}}-X_{t_{k-1}})^{2},}
(A)
gdzie
Π
{\displaystyle \Pi }
[
0
,
t
]
{\displaystyle [0,t]}
t
0
=
0
<
t
1
<
t
2
<
…
<
t
n
−
1
<
t
n
=
t
,
{\displaystyle t_{0}=0<t_{1}<t_{2}<\ldots <t_{n-1}<t_{n}=t,}
przy czym
‖
Π
‖
=
max
{
t
k
−
t
k
−
1
:
k
=
1
,
…
,
n
}
,
{\displaystyle \|\Pi \|=\max\{t_{k}-t_{k-1}\colon k=1,\dots ,n\},}
to proces
[
X
]
=
(
[
X
t
]
)
t
⩾
0
{\displaystyle [X]=([X_{t}])_{t\geqslant 0}}
⟨
X
⟩
=
(
⟨
X
t
⟩
)
t
⩾
0
{\displaystyle \langle X\rangle =(\langle X_{t}\rangle )_{t\geqslant 0}}
(
X
t
)
t
⩾
0
.
{\displaystyle (X_{t})_{t\geqslant 0}.}
Ogólniej, dla pary procesów
X
=
(
X
t
)
t
⩾
0
,
Y
=
(
Y
t
)
t
⩾
0
{\displaystyle X=(X_{t})_{t\geqslant 0},Y=(Y_{t})_{t\geqslant 0}}
kowariację wzorem
[
X
,
Y
]
t
=
lim
‖
Π
‖
→
0
∑
k
=
1
n
(
X
t
k
−
X
t
k
−
1
)
(
Y
t
k
−
Y
t
k
−
1
)
(
t
⩾
0
)
.
{\displaystyle [X,Y]_{t}=\lim _{\|\Pi \|\to 0}\sum _{k=1}^{n}\left(X_{t_{k}}-X_{t_{k-1}}\right)\left(Y_{t_{k}}-Y_{t_{k-1}}\right)\quad (t\geqslant 0).}
o ile tylko odpowiednie granice istnieją w sensie zbieżności według prawdopodobieństwa.
Z tożsamości polaryzacyjnej wynika wówczas, że
[
X
,
Y
]
t
=
1
4
(
[
X
+
Y
]
t
−
[
X
−
Y
]
t
)
(
t
⩾
0
)
.
{\displaystyle [X,Y]_{t}={\tfrac {1}{4}}([X+Y]_{t}-[X-Y]_{t})\quad (t\geqslant 0).}
[1] Wariacja kwadratowa procesu Wienera
B
{\displaystyle B}
[
B
t
]
=
t
(
t
⩾
0
)
.
{\displaystyle [B_{t}]=t\quad (t\geqslant 0).}
Stwierdzenie to uogólnia się na inne procesy Itô , tzn. procesy, które można przedstawić w postaci
X
t
=
X
0
+
∫
0
t
σ
s
d
B
s
+
∫
0
t
μ
s
d
s
,
{\displaystyle X_{t}=X_{0}+\int _{0}^{t}\sigma _{s}\,\mathrm {d} B_{s}+\int _{0}^{t}\mu _{s}\,\mathrm {d} s,}
gdzie
B
{\displaystyle B}
[
X
]
t
=
∫
0
t
σ
s
2
d
s
.
{\displaystyle [X]_{t}=\int _{0}^{t}\sigma _{s}^{2}\,\mathrm {d} s.}
![{\displaystyle [X]_{t}=\lim _{\|\Pi \|\to 0}\sum _{k=1}^{n}(X_{t_{k}}-X_{t_{k-1}})^{2},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1e4225cebb280c9e0d5f96f4e15000b30aed9c2e)
![{\displaystyle [0,t]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/37d2d2fa44908c699e2b7b7b9e92befc8283f264)
![{\displaystyle [X]=([X_{t}])_{t\geqslant 0}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5f4543bab38e08f6ddad5f035df3758bf790a635)
![{\displaystyle [X,Y]_{t}=\lim _{\|\Pi \|\to 0}\sum _{k=1}^{n}\left(X_{t_{k}}-X_{t_{k-1}}\right)\left(Y_{t_{k}}-Y_{t_{k-1}}\right)\quad (t\geqslant 0).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/548d8c7d653d2406a8dcdd5a23c24e9bd2933fb3)
![{\displaystyle [X,Y]_{t}={\tfrac {1}{4}}([X+Y]_{t}-[X-Y]_{t})\quad (t\geqslant 0).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/36ebfc1b659487701df7a7a755f49cf5a8721dfb)
![{\displaystyle [B_{t}]=t\quad (t\geqslant 0).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a80c4fa0af36e6a4c537b8bbafc807163e2e0ee7)
![{\displaystyle [X]_{t}=\int _{0}^{t}\sigma _{s}^{2}\,\mathrm {d} s.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7d1532a2bd98fd693f9b6b9853746c9adb418385)