Martyngał (rachunek prawdopodobieństwa)

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania
Trójwymiarowy proces Wienera jest przykładem martyngału

Martyngałproces stochastyczny (ciąg zmiennych losowych), w którym warunkowa wartość oczekiwana zmiennej w momencie gdy znamy wartości do jakiegoś wcześniejszego momentu jest równa wartości w momencie

Historia[edytuj | edytuj kod]

Oryginalnie, termin martyngały oznaczał pewne strategie grania w gry hazardowe w XVIII-wiecznej Francji. Najprostsza z takich strategii stosuje się do gry polegającej na obstawianiu rzutu monetą, gdy odgadnięcie wyniku daje wygraną równą postawionej stawce. Strategia polega na podwajaniu stawki po każdej przegranej, tak że pierwsza wygrana pokrywa wszystkie straty i daje wygraną równą pierwotnej stawce. Ta strategia pozwala wygrać z prawdopodobieństwem równym 1, ale tylko przy założeniu że obstawiający ma nieograniczone zasoby pieniędzy. W praktyce wykładniczy wzrost stawek bardzo szybko doprowadziłby tak obstawiającą osobę do bankructwa.

Pojęcie martyngału wprowadził do teorii prawdopodobieństwa Paul Pierre Lévy, a teorię rozwinął Joseph Leo Doob. Jedną z motywacji powstania tej teorii było pokazanie niemożliwości istnienia wygrywających strategii w grach hazardowych.

Definicje formalne[edytuj | edytuj kod]

W przypadku dyskretnym, martyngał to dyskretny proces stochastyczny spełniający dla wszystkich warunki:

Ogólniej, ciąg jest martyngałem w stosunku do ciągu jeśli dla wszystkich spełnia warunki:

Podobnie w przypadku ciągłym, ciągłym martyngałem w stosunku do procesu jest proces stochastyczny taki że dla dowolnego

dla dowolnego

Oznacza to że wartość oczekiwana wyniku w momencie jeśli znamy wartości do momentu jest równa zmierzonej wartości w momencie (o ile ).

W pełnej ogólności, martyngałem względem filtracji jest para taka, że

  • jest przestrzenią probabilistyczną;
  • jest procesem stochastycznym adaptowanym do filtracji (czyli jest -mierzalne dla wszystkich );
  • dla wszystkich
  • dla wszystkich gdzie oznacza funkcję charakterystyczną zbioru

Przykłady martyngałów[edytuj | edytuj kod]

  • Niech będzie majątkiem gracza po rzuceniu razy symetryczną monetą, jeśli gracz wygrywa 1 $ za każdego wyrzuconego orła i traci 1 $ za każdą wyrzuconą reszkę. Wartość oczekiwana majątku gracza w dowolnym momencie jest równa ostatniej znanej nam wartości tego majątku, a więc jest martyngałem.
  • Niech gdzie jest majątkiem gracza z poprzedniego przykładu. Ciąg jest martyngałem. Można to wykorzystać do pokazania że oczekiwana wartość odchylenia od zera jest równa pierwiastkowi z liczby wykonanych rzutów.
  • (Martyngał de Moivre’a) Załóżmy że moneta którą rzuca gracz z pierwszego przykładu jest „sfałszowana”, tak że orzeł wypada z prawdopodobieństwem a reszka z prawdopodobieństwem Wtedy jest martyngałem w stosunku do
  • (Urna Pólya). Urna zawiera początkowo czerwonych i niebieskich kul. W każdym kroku wyciągamy losową kulę, i zwracamy ją do urny dokładając jeszcze jedną kulę tego koloru jak wylosowana. Niech oznacza liczbę czerwonych kul w urnie po takich losowaniach i niech Wtedy ciąg jest martyngałem.
  • Załóżmy że każda ameba albo dzieli się na dwie ameby potomne (z prawdopodobieństwem ) albo umiera (z prawdopodobieństwem ). Niech oznacza liczbę ameb po pokoleniach (w szczególności jeśli populacja wymrze). Oznaczmy przez prawdopodobieństwo że populacja kiedyś wymrze. Wtedy jest martyngałem w stosunku do

Podmartyngały i nadmartyngały[edytuj | edytuj kod]

Dyskretny podmartyngał to ciąg całkowalnych zmiennych losowych spełniający warunek

Analogicznie, nadmartyngał spełnia warunek

Ogólniejsze definicje martyngałów podane wcześniej można przekształcić w odpowiadające im definicje pod- i nadmartyngałów w identyczny sposób.

Przykłady podmartyngałów i nadmartyngałów[edytuj | edytuj kod]

  • Każdy martyngał jest zarazem podmartyngałem oraz nadmartyngałem. Odwrotnie: każdy proces stochastyczny, który jest podmartyngałem i nadmartyngałem, jest martyngałem.
  • Rozważmy ponownie gracza rzucającego monetą, gdy prawdopodobieństwo wyrzucenia orła wynosi
    • Jeśli jest równe 1/2, gracz średnio nic nie zyskuje ani nie traci – jego majątek w funkcji czasu jest martyngałem.
    • Jeśli jest mniejsze niż 1/2, gracz średnio częściej traci niż zyskuje – jego majątek w funkcji czasu jest nadmartyngałem.
    • Jeśli jest większe niż 1/2, gracz średnio częściej zyskuje niż traci – jego majątek w funkcji czasu jest podmartyngałem.
  • Dowolna funkcja wypukła określona na martyngale jest podmartyngałem (na podstawie nierówności Jensena). Przykładowo, kwadrat majątku gracza z pierwszego przykładu jest podmartyngałem (co wynika również z faktu że jest martyngałem). Podobnie, każda funkcja wklęsła określona na martyngale jest nadmartyngałem.