Wielomiany Tonellego

Wielomiany Tonellego – rodzina wielomianów efektywnie aproksymujących rzeczywiste funkcje ciągłe, określone na pewnym przedziale.

Definicja

Niech $a,b\in \mathbb {R} ,0<b-a<1,f\colon [a,b]\to \mathbb {R}$ będzie funkcją ciągłą. Jeśli przedłużymy ją w sposób ciągły na przedział $[\alpha ,\beta ]$ taki, że $[a,b]\subset [\alpha ,\beta ],\beta -\alpha <1,$ to wielomian

$T_{n}(x)=\int \limits _{\alpha }^{\beta }f(u)t_{n}(u-x)\ du,$

gdzie:

$t_{n}(z)={\frac {(1-z^{2})^{n}}{\int \limits _{-1}^{1}(1-u^{2})^{n}\ du}},\quad n\in \mathbb {N}$

nazywamy $n$-tym wielomianem Tonellego dla funkcji $f.$

Analogicznie można zdefiniować wielomiany Tonellego dla funkcji ciągłych przestrzeni $\mathbb {R} ^{m}.$

Własności

• Ciąg $T_{n}(x)$ jest zbieżny jednostajnie do $f$ na przedziale $[a,b].$
• Jeśli $f$ jest klasy $\mathrm {C} ^{r}$ w przedziale $[a,b]$ oraz jej przedłużenie na przedział $[\alpha ,\beta ]$ (określony jw.) jest również klasy $\mathrm {C} ^{r},$ przy czym $f^{(i)}(\alpha )=f^{(i)}(\beta )=0,\;i\leqslant r-1,$ to

$T'_{n}(x)=-\int \limits _{\alpha }^{\beta }f(u)t'_{n}(u-x)dx=\int \limits _{\alpha }^{\beta }f'(u)t_{n}(u-x)du$

jest $n$-tym wielomianem Tonellego dla $f'.$ Skąd $T_{n}^{(i)}$ jest $n$-tym wielomianem Tonellego dla $f^{(i)}$ oraz $T_{n}^{(i)}$ jednostajnie do $f^{(i)},\;i\leqslant p$

Zobacz też

• interpolacja wielomianowa
• twierdzenie Stone’a-Weierstrassa
• wielomiany Bernsteina

Bibliografia

• Stanisław Łojasiewicz: Wstęp do teorii funkcji rzeczywistych. Warszawa: Państwowe Wydawnictwo Naukowe, 1973, s. 39–40.