Zasada dualności w teorii kategorii

Każda definicja, twierdzenie i dowód w teorii kategorii ma swój odpowiednik dualny. Otrzymuje się go przez formalną zamianę każdego wyrażenia typu $\alpha \beta =\gamma$ na $\beta \alpha =\gamma .$ Wynika stąd, że trzeba też wymienić w każdym morfiźmie dziedziny z kodziedziną, tzn. zastąpić każde $\alpha \colon A\to B$ przez $\alpha \colon B\to A.$

Do każdego pojęcia teorii kategorii można w ten sposób utworzyć pojęcie dualne. Pojęciem dualnym do monomorfizmu jest epimorfizm i odwrotnie. Pojęciem dualnym do produktu jest koprodukt. Pojęciem dualnym do dziedziny jest kodziedzina. Odpowiada to przejściu od danej kategorii ${\mathfrak {K}}$ do kategorii dualnej ${\mathfrak {K^{op}}}.$

Ponieważ aksjomaty teorii kategorii są niezmiennicze ze względu na takie zamiany, jeżeli jakieś zdanie wyrażone w terminach morfizmów i ich złożeń jest twierdzeniem teorii kategorii, to zdanie dualne, otrzymane przez opisane tu zamiany jest też twierdzeniem, zwanym twierdzeniem dualnym. Jest to zasada dualności w teorii kategorii.

Zobacz też

• funktor (teoria kategorii)
• teoria kategorii

Bibliografia

• Zbigniew Semadeni, Antoni Wiweger: Wstęp do teorii kategorii i funktorów. Wyd. 2. Warszawa: Państwowe Wydawnictwo Naukowe, 1978, seria: Biblioteka Matematyczna. Tom 45. Brak numerów stron w książce
• Saunders Mac Lane: Categories for the working mathematician. Berlin Heidelberg New York: Springer Verlag, 1971. ISBN 3-540-90036-5. Brak numerów stron w książce