Funktor (teoria kategorii)

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

W teorii kategorii funktor to odwzorowanie jednej kategorii do drugiej zachowujące złożenia i morfizmy tożsamościowe. Można o nim myśleć jako o homomorfizmie wyższego rzędu. Ważne jest rozróżnienie dwóch typów funktorów: kowariantnych i kontrawariantnych.

Pojęcie kategorii, funktora i naturalnych transformacji funktorów wprowadzili do matematyki Samuel Eilenberg i Saunders Mac Lane w 1945[1].

Definicje[edytuj]

Funktor (czyli funktor kowariantny) z kategorii do to dwa przyporządkowania:

  • jedno z nich, przyporządkowanie obiektowe z do , które każdemu obiektowi kategorii przyporządkowuje obiekt kategorii ,
  • drugie zaś, przyporządkowanie morfizmowe z do , które każdemu morfizmowi kategorii przyporządkowuje morfizm kategorii .

Przyporządkowania te mają spełniać następujące dwa warunki:

  • dla każdego obiektu kategorii zachodzi ,
  • dla każdych dwóch morfizmów , kategorii zachodzi .

Niech oznacza kategorię dualną do Przez funktor kontrawariantny z do rozumiemy funktor kowariantny z do . Funktor taki zamienia kierunki strzałek na przeciwne i odwraca kolejność składania[a].

Można też rozważać funktory wielu zmiennych, zwane multifunktorami, określone na odpowiednio zdefiniowanym produkcie kategorii . W przypadku n=2 używa się nazwy bifunktor. Funktory o tej samej dziedzinie i przeciwdziedzinie nazywa się funktorami równoległymi.

Jeśli i są dwoma funktorami, to ich złożenie powstaje przez złożenie poszczególnych przyporządkowań obiektowych dla i przyporządkowań morfizmowych dla w .

Funktor nazywa się izomorfizmem kategorii i , gdy istnieje funktor taki, że oba złożenia i są odpowiednimi funktorami tożsamościowymi, tzn. takimi, że odpowiadające im przyporządkowania są tożsamościami. Łatwo sprawdzić, że funktor jest izomorfizmem kategorii wtedy i tylko wtedy, gdy odpowiadające mu przyporządkowania , są bijekcjami[2].

Przykłady funktorów[edytuj]

  • Niech oznacza grupę wolną generowaną przez zbiór jej wolnych generatorów, . Wówczas każda funkcja ma jednoznaczne przedłużenie do homomorfizmu . W ten sposób otrzymuje się funktor kowariantny z kategorii Set (zbiorów i funkcji ze zbioru w zbiór) do kategorii Grp (grup i homomorfizmów)[b].
  • Funktory zapominania (ang. forgetful functors) to szeroka klasa funktorów polegających na pomijaniu jakiejś struktury lub jej części („zapominaniu” o niej). Na przykład, przyporządkowując każdej grupie jej nośnik (tzn. zbiór jej elementów, bez żadnego działania) i każdemu homomorfizmowi tę samą funkcję z do , otrzymujemy funktor z kategorii grup Grp w kategorię zbiorów Set. Podobnie określone są funktory zapominania z Vect do Ab, bo każda przestrzeń liniowa jest też grupą abelową z działaniem +, a każdy operator liniowy jest zarazem homomorfizmem grup („zapomina się” o mnożeniu przez skalary). Można też rozważać np. funktor zapominania z Metr do kategorii Top przestrzeni topologicznych i przekształceń ciągłych („zapomina się” o metryce, zachowując wyznaczoną przez nią topologię).
  • Funktor z Set do Set mnożenia kartezjańskiego przez ustalony zbiór przyporządkowuje każdemu zbiorowi zbiór , a każdej funkcji przyporządkowuje funkcję zdefiniowaną jako dla , .
  • Biunktor z SetSet do Set mnożenia kartezjańskiego przyporządkowuje każdej parze zbiorów zbiór , a każdej parze funkcji , przyporządkowuje funkcję zdefiniowaną jako dla , .
  • Funktorami między dwoma zbiorami częściowo uporządkowanymi (posetami) traktowanymi jako kategorie są funkcje monotoniczne.

Funktory główne[edytuj]

Niech będzie kategorią. Jeśli są jej obiektami, oznaczmy przez lub zbiór wszystkich morfizmów z do . Wymaga to założenia, że jest kategorią lokalnie małą (tzn. taką, że owe klasy są zbiorami)[c].

Niech będzie ustalonym obiektem. Jeżeli jest morfizmem w , to dla każdego należącego do złożenie należy do . Oznaczmy przez opisane tu przyporządkowanie . Powstaje w ten sposób funktor kowariantny z do Set, oznaczany jest to funktor główny kowariantny wyznaczony przez obiekt [d]. Bywa też zwany hom-functor (zwłaszcza w kontekście algebry) i oznaczany[3]

lub lub lub .

Jeśli jest ustalonym obiektem kategorii , to analogicznie definiuje się funktor główny kontrawariantny , przyporządkowujący każdemu morfizmowi przekształcenie przyporządkowujące morfizmom należącemu do złożenie należące do .

Można też rozważać bifunktor główny (–,–) z do Set, kontrawariantny w pierwszej zmiennej i kowariantny w drugiej.

Funktory wierne i pełne[edytuj]

Załóżmy, że jest funktorem. Obcinając przyporządkowanie do zbioru , otrzymamy funkcję z tego zbioru do . Mówimy, że funktor jest wierny, gdy dla każdej pary obiektów kategorii indukowana funkcja jest iniekcją. Jest to pojęcie ważne z uwagi na to, że często funktor wierny nie jest iniektorem, tzn. warunek nie pociąga tego, że . Np. funktor zapominania z kategorii Top przestrzeni topologicznych i odwzorowań ciągłych do Set jest wierny, ale nie jest iniektorem, bowiem jeżeli X, Y są dwiema przestrzeniami topologicznymi o tym samym nośniku (np. odcinek [0,1] ze zwykłą topologią i ten sam zbiór punktów z topologia dyskretną), to i są dwoma różnymi morfizmami w Top, a ich obrazy w Set są identyczne.

Mówimy, że funktor jest pełny, gdy dla każdej pary obiektów kategorii indukowana funkcja jest suriekcją. Funktor zapominania TopSet nie jest pełny, bowiem np. w obrazie zbioru funkcji są funkcje nieciągłe. Podkategoria kategorii jest pełna, gdy funktor inkluzji podkategorii jest pełny[4][5].

Zobacz też[edytuj]

Uwagi

  1. Inne podejście do definicji funktora kontrawariantnego i dalsze przykłady znajdują się w Teoria kategorii#Funktory.
  2. Kategoryjne podejście do pojęcia grupy wolnej i ogólniej obiektu wolnego w pewnych kategoriach opisane jest w części grupy wolne w Teoria kategorii#Zagadnienia jednoznacznej faktoryzacji.
  3. Kwestia ta omówiona jest w Teoria kategorii#Trudności związane z antynomiami teorii mnogości.
  4. Nazwa funktor główny jest analogiczna do nazwy ideał główny w pierścieniu Boole'a podzbiorów jakiejś przestrzeni – to ideał generowany przez pojedynczy zbiór , czyli ideał wszystkich podzbiorów tego zbioru.

Przypisy

  1. Eilenberg, S. i Mac Lane, S., 1945, “General Theory of Natural Equivalences”, Transactions of the American Mathematical Society, 58: 231–294; http://www.ams.org/journals/tran/1945-058-00/S0002-9947-1945-0013131-6/S0002-9947-1945-0013131-6.pdf
  2. Mac Lane 1971 ↓, s.14.
  3. https://en.wikipedia.org/wiki/Hom_functor.
  4. Semadeni i Wiweger 1978 ↓, # 1.9.3..
  5. Mac Lane 1971 ↓, s. 15.

Bibliografia[edytuj]

  1. Zbigniew Semadeni, Antoni Wiweger: Wstęp do teorii kategorii i funktorów. Wyd. 2. T. 45. Warszawa: Państwowe Wydawnictwo Naukowe, 1978, seria: Biblioteka Matematyczna.
  2. Saunders Mac Lane: Categories for the working mathematician. Berlin Heidelberg New York: Springer Verlag, 1971. ISBN 3-540-90036-5.
  3. Andrzej Białynicki-Birula: Zarys algebry. T. 63. Warszawa: Państwowe Wydawnictwo Naukowe, 1987, seria: Biblioteka Matematyczna. ISBN 83-01-06260-6.

Linki zewnętrzne[edytuj]