Funktor (teoria kategorii)

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

W teorii kategorii funktor to odwzorowanie jednej kategorii w drugą zachowujące złożenia i morfizmy tożsamościowe. Można o nim myśleć jak o homomorfizmie z kategorii do kategorii. Słowo funktor zostało zapożyczone od niemieckiego filozofa Rudolfa Carnapa.

Definicje[edytuj]

Funktor (funktor kowariantny) z kategorii do to przyporządkowanie

  • każdemu obiektowi obiektu i
  • każdemu morfizmowi morfizmu

takie, że:

  • Dla każdego obiektu zachodzi
  • Dla każdych morfizmów , zachodzi .

Funktor kontrawariantny to funktor .

Funktory o tej samej dziedzinie i przeciwdziedzinie nazywa się funktorami równoległymi.

Przykłady[edytuj]

  • Funktor zapominania: przyporządkowując każdej grupie zbiór i każdemu homomorfizmowi funkcję otrzymujemy funktor z kategorii grup Grp w kategorię zbiorów Set. Podobnie mamy funktory zapominania , itd.
  • Funktor identycznościowy określony przez i .
  • Funktor grupy wolnej przyporządkowujący każdemu zbiorowi grupę wolną nad .
  • Funktorami między dwoma posetami (traktowanymi jako kategorie) są funkcje monotoniczne.

Zobacz też[edytuj]