Zbiór Julii

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj
Przykład zbioru Julii, Re(c)>0
Przykład zbioru Julii, Re(c)<0
Zbiór Julii dla
Zbiór Julii dla

Zbiór Julii i zbiór Fatou to dwa komplementarne (tzn. będące swoimi dopełnieniami) zbiory zdefiniowane przez odwzorowanie będące funkcją wymierną[1]. Nieformalnie, zbiór Fatou funkcji zawiera wartości o takiej właściwości, że w ich bliskim otoczeniu pozostałe wartości zachowują się podobnie po iterowanym przekształcaniu zadaną funkcją, natomiast w zbiorze Julii są te wartości, dla których dowolnie małe zaburzenie może powodować drastyczne zmiany w ciągu iterowanych wartości. Stąd zachowanie funkcji w zbiorze Fatou jest „regularne”, natomiast w zbiorze Julii „chaotyczne”.

Zbiór Julii funkcji ƒ jest powszechnie oznaczany jako J(ƒ), a zbiór Fatou jako F(ƒ). Nazwy zbiorów pochodzą od nazwisk francuskich matematyków Gastona Julii i Pierre'a Fatou, którzy w latach 1918-1920[2] badali własności układów dynamicznych opisanych funkcją wymierną.

Definicja[edytuj]

Niech będzie zespoloną funkcją wymierną odwzorowującą całą płaszczyznę zespolona na nią samą, tj. , gdzie i są wielomianami zespolonymi. Wtedy istnieje skończona liczba otwartych zbiorów , które są niezmiennicze przez i są takie, że:

  1. suma zbiorów jest zbiorem gęstym i
  2. zachowuje się w sposób regularny i taki sam w każdym ze zbiorów .

Ostatnie stwierdzenie oznacza, że końce ciągów generowanych iteracyjnie dla punktów są dokładnie takie same jak w zadanym zbiorze, który jest wtedy skończonym cyklem, albo są skończonym cyklem skończonych lub pierścieniowych kształtów zbiorów leżących koncentrycznie. W pierwszym przypadku cykl jest „przyciągający” a w drugim „neutralny”.

Zbiory dziedziną Fatou funkcji . a ich suma jest zbiorem Fatou funkcji . Każdy zbiór tworzący dziedzinę Fatou zawiera co najmniej jeden punkt krytyczny , tj. (skończony) punkt z spełniający , lub z = ∞, jeśli stopień wielomianu licznika jest co najmniej o dwa stopnie wyższy niż stopień wielomianu mianownika lub jeśli dla pewnej stałej c i funkcja spełnia ten warunek.

Dopełnienie zbioru nazywa się zbiorem Julii funkcji . Zbiór jest nigdzie gęsty (nie zawiera punktów wewnętrznych) i nieprzeliczalny (jego moc jest taka sama jak moc zbioru liczb rzeczywistych). Oba zbiory i są w pełni niezmiennicze[3].

Wielomiany kwadratowe[edytuj]

Zbiór tworzą te punkty dla których ciąg opisany równaniem rekurencyjnym:

nie dąży do nieskończoności:

gdzie c – liczba zespolona będąca parametrem zbioru. Można wykazać, że jest to równoważne z:

Podsumowując jednym zdaniem:

Dla różnych c otrzymuje się różne zbiory, stąd J jest rodziną zbiorów.

Własności[edytuj]

Zbiory Julii są ściśle związane ze zbiorem Mandelbrota. Zbiór Julii jest spójny, jeżeli c należy do zbioru Mandelbrota[4].

Przypisy

Bibliografia[edytuj]

Zobacz też[edytuj]

Linki zewnętrzne[edytuj]