0,(9)

0,(9) (lub 0,999...) – w matematyce jest ułamkiem dziesiętnym nieskończonym.

Wartość liczby $0,(9)$ nie jest zbliżona do $1$, ale jest równa $1$. Równość tę można udowodnić na wiele sposobów.

Dowód algebraiczny

Przykładowy dowód to pomnożenie liczby $0,(9)$ przez $10$, a następnie odjęcie od otrzymanego wyniku $0,(9)$ i podzielenie całości przez $9$:

$\begin{align} x &= 0,999\ldots \\ 10 x &= 9,999\ldots \\ 10 x - x &= 9,999\ldots - 0,999\ldots \\ 9 x &= 9 \\ x &= 1 \end{align}$

Dowód przy pomocy nieskończonego ciągu geometrycznego

$0,(9)$ można przedstawić jako sumę szeregu geometrycznego: $0,(9) =\sum_{n=0}^{\infty}\frac{0,9}{10^n}= 0,9 + 0,09 + 0,009 + 0,0009 + ....$

Korzystając ze wzoru na sumę szeregu geometrycznego:

$S={a_{1} \over 1-q}$

gdzie $|q| < 1$, obliczamy wartość $0,(9)$: $S={0,9 \over 1-{1 \over 10}} = {{9 \over 10} \over {9 \over 10}} = {9 \over 10} \cdot {10 \over 9} = 1$

Zobacz też

• 1 (liczba)
• paradoksy Zenona z Elei