0,(9)

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj
0,(9)

0,(9) (lub 0,999...) – zapis liczby 1 w postaci ułamka dziesiętnego nieskończonego. Innymi słowy, 0,(9) = 1 (tj. są to te same liczby), co można udowodnić na kilka sposobów (zob. niżej).

Dowód algebraiczny[edytuj | edytuj kod]

Przykładowy dowód to pomnożenie liczby 0,(9) przez 10, a następnie odjęcie od otrzymanego wyniku 0,(9) i podzielenie całości przez 9:


\begin{align}
x           &= 0,999\ldots \\
10 x       &= 9,999\ldots \\
10 x - x    &= 9,999\ldots - 0,999\ldots \\
9 x         &= 9 \\
x           &= 1.
\end{align}

Dowód przy pomocy nieskończonego ciągu geometrycznego[edytuj | edytuj kod]

Liczbę 0,(9) można przedstawić jako sumę szeregu geometrycznego:

0,(9) =\sum_{n=0}^{\infty}\frac{0,9}{10^n}= 0,9 + 0,09 + 0,009 + 0,0009 + .... = 0,9\cdot \sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{10^n}

Korzystając ze wzoru na sumę szeregu geometrycznego:

\sum_{n=0}^\infty q^n =  {1 \over 1-q}

gdzie |q| < 1, obliczamy wartość 0,(9) (w tym przypadku q = 1/10):

0,(9)={0,9}\cdot {1 \over 1-{1 \over 10}} = {{9 \over 10} \over {9 \over 10}} = {9 \over 10} \cdot {10 \over 9} = 1.

Zobacz też[edytuj | edytuj kod]