Szereg geometryczny

Szeregiem geometrycznym nazywamy szereg $\sum_{i} a_i, \,$ gdzie $(a_i) \,$ jest ciągiem geometrycznym. n-ta suma częściowa jest postaci:

$S_n = a_1 + a_2 + ... + a_n = \sum_{i=1}^n a_i, \quad n \in \mathbb{N}$

gdzie $a_1,\dots,a_n$ to $n \,$ pierwszych wyrazów danego ciągu geometrycznego $(a_i) \,$.

Iloraz $q \,$ ciągu geometrycznego $(a_i) \,$ nazywamy ilorazem szeregu geometrycznego $\sum_{i} a_i \,$. Przy wykorzystaniu ilorazu szeregu geometrycznego, wzór na n-tą sumę częściową (suma czynników od 1 do n) przyjmuje postać:

$S_n = a_1 \frac{1 - q^n}{1 - q},$ gdzie $a_1 \,$ to pierwszy wyraz ciągu geometrycznego $(a_i) . \,$ Dla $q=1 \,$ wzór na n-tą sumę częściową wygląda następująco: $S_n = a_1n \,$

Zbieżność szeregów geometrycznych

Nieskończony szereg geometryczny jest zbieżny wtedy i tylko wtedy, gdy wartość bezwzględna jego ilorazu jest mniejsza od 1 ( | q | < 1). Granica szeregu, nazywana sumą szeregu i utożsamiana z sumą wszystkich elementów związanego z nim nieskończonego ciągu geometrycznego, dana jest wzorem:

$\sum_{n=0}^\infty a_1 q^n=\frac{a_1}{1-q}$

Przykład

Diagram obrazujący sumę szeregu geometrycznego 1 + 1/2 + 1/4 + ... równą 2.

Rozważmy nieskończony szereg geometryczny

$1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \dots = \sum_{n=0}^\infty \frac{1}{2^n} .$

Iloraz $q \,$ tego szeregu jest równy $\frac{1}{2}$, zaś a₁ = 1. Wobec tego zgodnie z powyższym wzorem

$\sum_{n=0}^\infty \frac{1}{2^n} = \frac{1}{1-\frac{1}{2}} = 2$

Wynik ten obrazuje załączona grafika.

Zobacz też

• szereg
• szereg funkcyjny
• szereg harmoniczny