Aksjomat nieskończoności

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacji, wyszukiwania

Aksjomat nieskończoności - jeden z aksjomatów teorii mnogości. Mówi, że istnieje zbiór X\; spełniający dwa następujące warunki:

  • \varnothing \in X
  • \forall_{y \in X} (S(y) \in X)

gdzie S(y) jest następnikiem porządkowym zbioru y:

S(y) = y \cup \{y\}.

Oznacza to, że do zbioru X\; należą:

  • \varnothing nazwijmy go A_0\;
  • \{\varnothing\} nazwijmy go A_1\;
  • \{\varnothing,\{\varnothing\}\} nazwijmy go A_2\;

itd.

Zbiór taki jest zbiorem nieskończonym – stąd nazwa aksjomatu.

Zbiór, który składa się z elementów A_0, A_1, A_2, \dots (i żadnych innych) można utożsamić ze zbiorem liczb naturalnych, zbiory A_0, A_1, A_2, \dots zaś utożsamić z liczbami 0, 1, 2, \dots\;

Zbiór spełniający warunki aksjomatu nazywamy zbiorem induktywnym.

Formalne sformułowanie aksjomatu nieskończoności[edytuj | edytuj kod]

Istnieje rodzina zbiorów \mathbb A o następujących własnościach:

  • \varnothing \in \mathbb{A}
  • Jeśli X \in \mathbb{A}, to w \mathbb A istnieje taki element Y, że Y = X \cup \{X\}.

Symbolicznie:

\exist_{\mathbb{A}} \varnothing \in \mathbb{A} \wedge \exist_{X \in \mathbb{A}} \forall_{Y \in \mathbb{A}} \forall_x (x \in Y \Leftrightarrow x \in X \vee x = X)[1].

Przypisy

  1. Kazimierz Kuratowski, Andrzej Mostowski: Teoria mnogości. Wyd. 3. Warszawa: PWN, 1978, s. 66.

Zobacz także[edytuj | edytuj kod]