Aksjomat nieskończoności

Aksjomat nieskończoności - jeden z aksjomatów teorii mnogości. Mówi, że istnieje zbiór $X\;$ spełniający dwa następujące warunki:

• $\varnothing \in X$
• $\forall_{y \in X} (S(y) \in X)$

gdzie S(y) jest następnikiem porządkowym zbioru y:

$S(y) = y \cup \{y\}$.

Oznacza to, że do zbioru $X\;$ należą:

• $\varnothing$ nazwijmy go $A_0\;$
• $\{\varnothing\}$ nazwijmy go $A_1\;$
• $\{\varnothing,\{\varnothing\}\}$ nazwijmy go $A_2\;$

itd.

Zbiór taki jest zbiorem nieskończonym – stąd nazwa aksjomatu.

Zbiór, który składa się z elementów $A_0, A_1, A_2, \dots$ (i żadnych innych) można utożsamić ze zbiorem liczb naturalnych, zbiory $A_0, A_1, A_2, \dots$ zaś utożsamić z liczbami $0, 1, 2, \dots\;$

Zbiór spełniający warunki aksjomatu nazywamy zbiorem induktywnym.

Formalne sformułowanie aksjomatu nieskończoności

Istnieje rodzina zbiorów $\mathbb A$ o następujących własnościach:

• $\varnothing \in \mathbb{A}$
• Jeśli $X \in \mathbb{A}$, to w $\mathbb A$ istnieje taki element Y, że $Y = X \cup \{X\}$.

Symbolicznie:

$\exist_{\mathbb{A}} \varnothing \in \mathbb{A} \wedge \exist_{X \in \mathbb{A}} \forall_{Y \in \mathbb{A}} \forall_x (x \in Y \Leftrightarrow x \in X \vee x = X)$.

Zobacz także

• zbiór induktywny