Następnik liczby porządkowej

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

W teorii mnogości, następnikiem liczby porządkowej \alpha nazywamy najmniejszą liczbę porządkową większą niż \alpha. Liczbę, która jest następnikiem pewnej liczby porządkowej nazywamy liczbą następnikową. Każda liczba porządkowa różna od 0 jest albo liczbą następnikową albo graniczną liczbą porządkową.

Używając liczb porządkowych von Neumanna (standardowego modelu używanego obecnie w teorii mnogości), następnikiem liczby porządkowej \alpha jest S(\alpha) dana wzorem:

S(\alpha) = \alpha \cup \{\alpha\}

Zastosowanie:

Następnik liczby porządkowej jest podstawową operacją przeprowadzaną na liczbach porządkowych. Najbardziej znanym jej zastosowaniem jest konstrukcja zbiorów induktywnych, np. zbioru liczb naturalnych w konstrukcji von Neumanna.

Używając operacji następnika można zdefiniować arytmetykę liczb porządkowych, np. dodawanie, przez indukcję pozaskończoną:

\alpha + 0 = \alpha\!
\alpha + S(\beta) = S(\alpha + \beta)\!

i dla granicznej liczby porządkowej λ

\alpha + \lambda = \bigcup_{\beta < \lambda} (\alpha + \beta)

W szczególności, S(α) = α + 1. Podobnie definiuje się mnożenie i potęgowanie.

Punkty następnikowe i zero są punktami skupienia klasy liczb porządkowych, w odniesieniu do topologii porządkowej.

Uwaga:

Nie każda liczba porządkowa jest następnikowa. Liczby, które nie mają tej własności nazywamy granicznymi liczbami porządkowymi (nie mylić z granicznymi liczbami kardynalnymi).

Własności:

  • Nie istnieje żadna liczba porządkowa pomiędzy \alpha i S(\alpha),
  • \alpha < S(\alpha)
  • Jeśli \alpha \in S(\alpha), to \alpha \subset S(\alpha) (zob. zbiór tranzytywny).

Przykłady:

  • S(\varnothing) = \{\varnothing\} (tu: \varnothing=0)
  • S\left(\{\varnothing\}\right) = \left\{\varnothing, \{\varnothing\}\right\},
  • S\left(\left\{\varnothing, \{\varnothing\}\right\}\right) = \left\{\varnothing, \{\varnothing\}, \left\{\varnothing, \{\varnothing\}\right\}\right\}.


Bibliografia:

  1. Aleksander Błaszczyk, Sławomir Turek: Teoria Mnogości. Warszawa: PWN, 2007.
  2. Wacław Sierpiński: Cardinal and ordinal numbers. Wyd. drugie poprawione. Warszawa: PWN, 1965.


Zobacz też: