Następnik liczby porządkowej

W teorii mnogości, następnikiem liczby porządkowej $\alpha$ nazywamy najmniejszą liczbę porządkową większą niż $\alpha$. Liczbę, która jest następnikiem pewnej liczby porządkowej nazywamy liczbą następnikową. Każda liczba porządkowa różna od $0$ jest albo liczbą następnikową albo graniczną liczbą porządkową.

Używając liczb porządkowych von Neumanna (standardowego modelu używanego obecnie w teorii mnogości), następnikiem liczby porządkowej $\alpha$ jest $S(\alpha)$ dana wzorem:

$S(\alpha) = \alpha \cup \{\alpha\}$

Zastosowanie:

Następnik liczby porządkowej jest podstawową operacją przeprowadzaną na liczbach porządkowych. Najbardziej znanym jej zastosowaniem jest konstrukcja zbiorów induktywnych, np. zbioru liczb naturalnych w konstrukcji von Neumanna.

Używając operacji następnika można zdefiniować arytmetykę liczb porządkowych, np. dodawanie, przez indukcję pozaskończoną:

$\alpha + 0 = \alpha\!$

$\alpha + S(\beta) = S(\alpha + \beta)\!$

i dla granicznej liczby porządkowej λ

$\alpha + \lambda = \bigcup_{\beta < \lambda} (\alpha + \beta)$

W szczególności, S(α) = α + 1. Podobnie definiuje się mnożenie i potęgowanie.

Punkty następnikowe i zero są punktami skupienia klasy liczb porządkowych, w odniesieniu do topologii porządkowej.

Uwaga:

Nie każda liczba porządkowa jest następnikowa. Liczby, które nie mają tej własności nazywamy granicznymi liczbami porządkowymi (nie mylić z granicznymi liczbami kardynalnymi).

Własności:

• Nie istnieje żadna liczba porządkowa pomiędzy $\alpha$ i $S(\alpha)$,
• $\alpha < S(\alpha)$
• Jeśli $\alpha \in S(\alpha)$, to $\alpha \subset S(\alpha)$ (zob. zbiór tranzytywny).

Przykłady:

• $S(\varnothing) = \{\varnothing\}$ (tu: $\varnothing=0$)
• $S\left(\{\varnothing\}\right) = \left\{\varnothing, \{\varnothing\}\right\}$,
• $S\left(\left\{\varnothing, \{\varnothing\}\right\}\right) = \left\{\varnothing, \{\varnothing\}, \left\{\varnothing, \{\varnothing\}\right\}\right\}$.

Bibliografia:

1. Aleksander Błaszczyk, Sławomir Turek: Teoria Mnogości. Warszawa: PWN, 2007. 
2. Wacław Sierpiński: Cardinal and ordinal numbers. Wyd. drugie poprawione. Warszawa: PWN, 1965. 

Zobacz też:

• aksjomaty i konstrukcje liczb
• arytmetyka liczb porządkowych
• liczba epsilonowa
• paradoks Burali-Fortiego
• zbiór potęgowy