Entropia topologiczna

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Entropia topologiczna reprezentuje wykładnicze tempo wzrostu liczby segmentów orbity układu dynamicznego odróżnianych z dowolnie dobrą, ale skończoną dokładnością. W tym sensie, entropia topologiczna opisuje w toporny ale sugestywny sposób całkowitą wykładniczą złożoność struktury orbity poprzez jedną tylko liczbę. Układy chaotyczne wyróżniają się posiadaniem dodatniej entropii, a sama entropia topologiczna jest niczym innym jak tempem wzrostu orbit okresowych. Zatem stosownie jest patrzeć na entropię jak na ilościową miarę chaosu w układzie dynamicznym.[1]

Metryka Bowena-Dinaburga[edytuj | edytuj kod]

Niech f\colon X\to X będzie odwzorowaniem ciągłym w zwartej przestrzeni metrycznej X z funkcją odległości d.

Zdefiniujmy ciąg rosnący metryk d_{n}^f, n = 1, 2, ..., poczynając od d_{1}^f = d, dany wzorem:

d_{n}^f (x,y) = \max_{0\leq i \leq n-1} \{d(f^{i}(x),f^{i}(y))\}

Innymi słowy, d_{n}^f jest odległością pomiędzy segmentami orbit \mathcal{O}_n(x) = \{x, ..., f^{n-1}(x)\} oraz \mathcal{O}_n(y) = \{y, ..., f^{n-1}(y)\}.

Definicja entropii topologicznej[edytuj | edytuj kod]

Niech N_d(f, r, n) będzie maksymalną liczbą punktów w X parami odległych o co najmniej r w metryce d_{n}^f.

O takim zbiorze mówimy, że jest (n, r)-oddzielony. Punkty tej postaci generują maksymalną liczbę segmentów orbity długości n, które są odróżnialne z dokładnością do r.

Rozważmy wykładniczą prędkość wzrostu  h_d(f, r) := \varlimsup_{n\to\infty} \frac{1}{n}\log N_d(f, r, n) wielkości N_d(f, r, n).

Oczywiście liczba h_{d}(f, r) nie maleje wraz z r, więc możemy zdefiniować wielkość h_{d}(f) := \lim_{r\to 0} h_{d}(f, r).

Liczbę h(f) := h_{\text{top}}(f) := h_d(f) nazywamy entropią topologiczną odwzorowania f.

Własności entropii topologicznej[edytuj | edytuj kod]

  • Jeśli d\;' jest metryką na X równoważną metryce d, to h_{d\;'}(f) = h_{d}(f).
  • Jeżeli X = \bigcup^m_{i=1} \Lambda_i, gdzie \Lambda_i są domkniętymi zbiorami f-niezmienniczymi, to h_{top}(f) = \max_{1\leq i\leq m} h_{top}(f_{\upharpoonright \Lambda_i}).
  • h_{top}(f^m) = |{m}| \cdot h_{top}(f).
  • Jeżeli odwzorowanie g jest faktorem odwzorowania f, to h_{top}(g)\leq h_{top}(f).
  • h_{top}(f\times g) = h_{top}(f) + h_{top}(g), gdzie f\colon X\rightarrow X, g\colon Y\rightarrow Y, zaś odwzorowanie f\times g \colon X\times Y \to X\times Y dane jest wzorem: (f\times g)(x, y) = (f(x), g(y)).

Przypisy

  1. Boris Hasselblatt, Anatole Katok: A first course in dynamics with a Panorama of Recent Developments, Cambridge University Press, 2003.