Entropia topologiczna

Entropia topologiczna – wykładnicze tempo wzrostu liczby segmentów orbity układu dynamicznego odróżnianych z dowolnie dobrą, ale skończoną dokładnością. W tym sensie, entropia topologiczna opisuje w toporny, ale sugestywny sposób całkowitą wykładniczą złożoność struktury orbity poprzez jedną tylko liczbę. Układy chaotyczne wyróżniają się posiadaniem dodatniej entropii, a sama entropia topologiczna jest niczym innym jak tempem wzrostu orbit okresowych. Zatem stosownie jest patrzeć na entropię jak na ilościową miarę chaosu w układzie dynamicznym.

Metryka Bowena-Dinaburga

Niech $f\colon X\to X$ będzie odwzorowaniem ciągłym w zwartej przestrzeni metrycznej $X$ z funkcją odległości $d.$

Zdefiniujmy ciąg rosnący metryk $d_{n}^{f},$ $n=1,2,...,$ poczynając od $d_{1}^{f}=d,$ dany wzorem:

$d_{n}^{f}(x,y)=\max _{0\leq i\leq n-1}\{d(f^{i}(x),f^{i}(y))\}$

Innymi słowy, $d_{n}^{f}$ jest odległością pomiędzy segmentami orbit ${\mathcal {O}}_{n}(x)=\{x,...,f^{n-1}(x)\}$ oraz ${\mathcal {O}}_{n}(y)=\{y,...,f^{n-1}(y)\}.$

Definicja entropii topologicznej

Niech $N_{d}(f,r,n)$ będzie maksymalną liczbą punktów w $X$ parami odległych o co najmniej $r$ w metryce $d_{n}^{f}.$

O takim zbiorze mówimy, że jest $(n,r)$-oddzielony. Punkty tej postaci generują maksymalną liczbę segmentów orbity długości $n,$ które są odróżnialne z dokładnością do $r.$

Rozważmy wykładniczą prędkość wzrostu $h_{d}(f,r):=\varlimsup _{n\to \infty }{\frac {1}{n}}\log N_{d}(f,r,n)$ wielkości $N_{d}(f,r,n).$

Oczywiście liczba $h_{d}(f,r)$ nie maleje wraz z $r,$ więc możemy zdefiniować wielkość $h_{d}(f):=\lim _{r\to 0}h_{d}(f,r).$

Liczbę $h(f):=h_{\text{top}}(f):=h_{d}(f)$ nazywamy entropią topologiczną odwzorowania $f.$

Własności entropii topologicznej

• Jeśli $d'$ jest metryką na $X$ równoważną metryce $d,$ to $h_{d'}(f)=h_{d}(f).$
• Entropia topologiczna jest niezmiennikiem sprzężenia topologicznego.
• Entropia topologiczna odwzorowań zwężających oraz izometrii jest zerowa.
• Jeżeli $\Lambda$ jest domkniętym zbiorem f-niezmienniczym, to $h_{top}(f_{\upharpoonright \Lambda })\leq h_{top}(f).$

• Jeżeli $X=\bigcup _{i=1}^{m}\Lambda _{i},$ gdzie $\Lambda _{i}$ są domkniętymi zbiorami f-niezmienniczymi, to $h_{top}(f)=\max _{1\leq i\leq m}h_{top}(f_{\upharpoonright \Lambda _{i}}).$

• $h_{top}(f^{m})=|{m}|\cdot h_{top}(f).$
• Jeżeli odwzorowanie $g$ jest faktorem odwzorowania $f,$ to $h_{top}(g)\leq h_{top}(f).$
• $h_{top}(f\times g)=h_{top}(f)+h_{top}(g),$ gdzie $f\colon X\rightarrow X,$ $g\colon Y\rightarrow Y,$ zaś odwzorowanie $f\times g\colon X\times Y\to X\times Y$ dane jest wzorem: $(f\times g)(x,y)=(f(x),g(y)).$