Funkcja antyholomorficzna

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacji, wyszukiwania

Funkcja antyholomorficzna (także funkcja antyanalityczna) – w matematyce funkcja mająca bliski związek z funkcją holomorficzną.

Definicja[edytuj | edytuj kod]

Funkcja zmiennej z określona na otwartym podzbiorze płaszczyzny zespolonej nazywana jest antyholomorficzną, jeżeli w każdym punkcie swej dziedziny istnieje jej pochodna względem z^* oznaczającego sprzężenie zespolone z.

Własności[edytuj | edytuj kod]

Można pokazać, że jeżeli f(z) jest funkcją holomorficzną na zbiorze otwartym D, to f(z^*) jest antyholomorficzna na D^* – zbiorze symetrycznym do D względem osi x lub, innymi słowy, zbiorze sprzężeń zespolonych elementów należących do D. Co więcej, każda funkcja antyholomorficzna może być uzyskana w ten sposób z funkcji holomorficznej. Oznacza to, że funkcja jest antyholomorficzna wtedy i tylko wtedy, gdy może być rozwinięta w szereg potęgowy względem z^* wokół każdego punktu swojej dziedziny.

Jeżeli funkcja jest zarazem holomorficzna i antyholomorficzna, to jest ona stała na każdej spójnej składowej swojej dziedziny. Funkcja, która zależy tak od z jak i od z^* nie jest ani holomorficzna, ani antyholomorficzna.