Przestrzeń spójna

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj
Spójne i niespójne podprzestrzenie płaszczyzny euklidesowej: przestrzeń A na górze jest spójna; zacieniowania przestrzeń B na dole nie jest.

Przestrzeń spójna – w topologii przestrzeń topologiczna oddająca intuicję „składania się z jednego kawałka”, tzn. niemożność jej rozłożenia na sumę dwóch niepustych, rozłącznych podzbiorów otwartych. Istnieje silniejsze pojęcie przestrzeni spójnej drogowo, w której dowolne dwa punkty dają się połączyć drogą.

Podzbiór przestrzeni topologicznej nazywa się spójnym, jeżeli jest spójny jako podprzestrzeń tej przestrzeni.

Definicja[edytuj | edytuj kod]

Niepustą przestrzeń topologiczną X nazywa się niespójną, jeżeli jest sumą dwóch niepustych, rozłącznych zbiorów otwartych. W przeciwnym przypadku X jest spójna. Podzbiór przestrzeni topologicznej jest spójny, jeśli jest spójny w topologii podprzestrzeni. Dla przestrzeni topologicznej X następujące warunki są równoważne:

Spójne składowe[edytuj | edytuj kod]

Maksymalne podzbiory spójne dowolnej przestrzeni topologicznej nazywa się spójnymi składowymi lub składowymi spójności tej przestrzeni. Innymi słowy składową zbioru nazywa się taki jego podzbiór spójny, który nie zawiera się w żadnym większym podzbiorze spójnym tego zbioru. Składowe stanowią rozbicie przestrzeni (tzn. są one rozłączne i sumują się do całej przestrzeni). Spójne składowe zbiorów jednopunktowych nazywa się często spójnymi składowymi punktu należącego do takiego zbioru. Każda składowa jest domkniętym podzbiorem oryginalnej przestrzeni. W ogólności składowe nie muszą być otwarte: przykładowo składowymi liczb wymiernych są zbiory jednopunktowe. Jednakże składowe zbiorów otwartych płaszczyzny są otwarte.

Niech \Gamma_x będzie spójną składową punktu x przestrzeni topologicznej X, zaś \Gamma_x' oznacza przekrój wszystkich zbiorów otwarto-domkniętych zawierających x (nazywa się go quasi-składową tego punktu). Wówczas \Gamma_x \subseteq \Gamma'_x. Równość zachodzi, jeżeli X jest zwartą przestrzenią Hausdorffa bądź jest lokalnie spójna.

Niespójność[edytuj | edytuj kod]

Przestrzeń, której wszystkie składowe są zbiorami jednopunktowymi, nazywa się całkowicie niespójną. Przykładami takiej przestrzeni są zbiór liczb naturalnych lub wymiernych z naturalną topologią metryczną (daną jako wartość bezwzględna różnicy). Z całkowitą niespójnością związana jest inna własność: przestrzeń X jest całkowicie oddzielona, jeżeli dla dowolnych dwóch elementów x, y należących do X istnieją rozłączne otoczenia U punktu x oraz V punktu y takie, że X jest sumą mnogościową U oraz V. Każda przestrzeń całkowicie oddzielona jest całkowicie niespójna; jednak wynikanie w drugą stronę nie zachodzi. Niech dane będą przykładowo dwa egzemplarze liczb wymiernych \mathbb Q utożsamione ze sobą w każdym punkcie poza zerem. Otrzymana przestrzeń, z topologią ilorazową, jest całkowicie niespójna. Rozważając jednak dwa egzemplarze zera widać, że pzrestrzeń nie jest całkowicie oddzielona. Istotnie, nie jest ona nawet Hausdorffa, a warunek całkowitego oddzielenia jest ściśle mocniejszy niż warunek hausdorffowości przestrzeni.

Twierdzenia[edytuj | edytuj kod]

Ciągłe przekształcenia zachowują spójność przestrzeni, w szczególności: obrazem przedziału przez ciągłą funkcję zmiennej rzeczywistej w liczby rzeczywiste jest przedział – własność ta, nazywana własnością wartości pośredniej, jest równoważna własności Darboux, tzn. jeżeli rzeczywista funkcja ciągła przyjmuje jako wartości liczby a, b, to przyjmuje także c leżącą między nimi. W ogólności każda funkcja rzeczywista ciągła na przestrzeni spójnej ma własność Darboux.

Suma dwóch zbiorów spójnych o niepustym przekroju jest zbiorem spójnym. Podobnie iloczyn kartezjański dowolnej rodziny przestrzeni spójnych jest spójny.

Spójność drogowa i łukowa[edytuj | edytuj kod]

Drogowo spójny podzbiór płaszczyzny.
Information icon.svg Zobacz też: droga (topologia)łuk krzywej.

Niech dana będzie przestrzeń topologiczna (X, \tau). Przestrzeń X nazywa się drogowo spójną (0-spójną) , jeżeli dwa dowolne jej punkty można połączyć drogą, tzn. dla każdych dwóch punktów x, y istnieje funkcja ciągła f_{x, y}\colon [0, 1] \to X taki, że f_{x, y}(0) = x oraz f_{x, y}(1) = y.

Przestrzeń X nazywa się łukowo spójną, jeżeli dwa dowolne jej punkty można połączyć łukiem, tzn. istnieje droga f będąca homeomorfizmem przedziału jednostkowego [0, 1] oraz jego obrazu f\bigl[[0, 1]\bigr].

Zachodzą następujące związki między różnymi rodzajami spójności:

łukowa spójność \Rightarrow drogowa spójność \Rightarrow spójność;

Przykładem dla którego w ogólności nie zachodzi pierwsze wynikanie jest przestrzeń Sierpińskiego, a drugiego – sinusoida zagęszczona. Mimo wszystko, jeżeli rozpatrywana przestrzeń jest Hausdorffa, to pojęcia drogowej i łukowej spójności pokrywają się. Podobnie dla otwartych podzbiorów przestrzeni euklidesowej pokrywają się pojęcia łukowej spójności i spójności.

Spójność lokalna[edytuj | edytuj kod]

 Osobny artykuł: przestrzeń lokalnie spójna.

Przestrzeń topologiczną nazywa się lokalnie spójną w punkcie, jeżeli każde otoczenie tego punktu zawiera otwarte otoczenie spójne. Jest ona lokalnie spójna, gdy ma bazę składającą się ze zbiorów spójnych. Można pokazać, że przestrzeń jest lokalnie spójna wtedy i tylko wtedy, gdy każda składowa dowolnego zbioru otwartego tej przestrzeni jest otwarta. Przykładem przestrzeni spójnej, która nie jest lokalnie spójna jest sinusoida zagęszczona.

Podobnie o przestrzeni topologicznej mówi się, że jest lokalnie drogowo spójna, jeżeli jej bazę stanowią zbiory drogowo spójne. Otwarty podzbiór przestrzeni lokalnie drogowo spójnej jest spójny wtedy i tylko wtedy, gdy jest drogowo spójny. Uogólnia to wcześniejsze stwierdzenie o \mathbb R^n oraz \mathbb C^n, które obie są lokalnie drogowo spójne. Ogólniej: dowolna rozmaitość topologiczna jest lokalnie drogowo spójna.

Dla przestrzeni lokalnie spójnej (np. płaszczyzny) rozbicie podzbiorów otwartych na składowe jest identyczne z rozbiciem na obszary.

Continuum[edytuj | edytuj kod]

 Osobny artykuł: continuum (topologia).

Continuum to spójna przestrzeń zwarta[1]. Przykładami continuów są: odcinek domknięty, koło, okrąg, kwadrat, sześcian (wszystkie z brzegiem) oraz pseudołuk.

Ponieważ przekształcenia ciągłe zachowują zwartość, jak i spójność, więc obrazem continuum przez dowolną funkcję ciągłą jest continuum.

Każde continuum będące przestrzenią metryczną lokalnie łukowo spójną jest obrazem odcinka [0, 1] w pewnej funkcji ciągłej. Wynika stąd, że istnieje funkcja ciągła z odcinka [0, 1], której obrazem jest dowolny kwadrat na płaszczyźnie (wraz z brzegiem); funkcję taką można skonstruować nie korzystając z tego twierdzenia – zob. krzywa Peano.

Przykłady[edytuj | edytuj kod]

Każda przestrzeń, zatem także przestrzenie liczb rzeczywistych \mathbb R, zespolonych \mathbb C, czy przestrzeń euklidesowa \mathbb R^n dowolnego wymiaru n, jest spójna. Każdy przedział liczbowy jest przestrzenią spójną. Torus oraz sfera są zbiorami spójnymi.

Przestrzeń otrzymana z usunięcia prostej z płaszczyzny nie jest spójna. Niespójne są również przestrzeń z usuniętym pierścieniem kołowym, czy suma dwóch rozłącznych kół dwuwymiarowej przestrzeni euklidesowej.

Zobacz też[edytuj | edytuj kod]

Przypisy

Bibliografia[edytuj | edytuj kod]

  • Jerzy Mioduszewski: Wykłady z topologii. Topologia przestrzeni euklidesowych. Katowice: Wydawnictwo Uniwersytetu Śląskiego, 1994. ISSN 0239-6432.