Funkcja trójkątna

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacji, wyszukiwania
Funkcja trójkątna

Funkcja trójkątna jest zdefiniowana jako:


\begin{align}
\operatorname{tri}(t) = \and (t) \quad 
&\overset{\underset{\mathrm{def}}{}}{=} \ \max(1 - |t|, 0) \\
&= 
\begin{cases}
1 - |t|, & |t| < 1 \\
0, & \mbox{dla innych }t 
\end{cases}
\end{align}

lub, co jest równoważne, jako splot dwóch identycznych jednostkowych funkcji prostokątnych:


\begin{align}
\operatorname{tri}(t) = \operatorname{rect}(t) * \operatorname{rect}(t) \quad
&\overset{\underset{\mathrm{def}}{}}{=}  \int_{-\infty}^\infty \mathrm{rect}(\tau) \cdot \mathrm{rect}(t-\tau)\ d\tau\\
&= \int_{-\infty}^\infty \mathrm{rect}(\tau) \cdot \mathrm{rect}(\tau-t)\ d\tau .
\end{align}
Splot dwóch funkcji prostokątnych. Kolorem żółtym oznaczono pole będące wartością funkcji splotu w chwili t.

Funkcja ta ma zastosowanie w przetwarzaniu sygnałów. Jest przykładem idealnego sygnału, którego cechy można odnaleźć w sygnałach rzeczywistych. Jednym z jej zastosowań jest Okno Trójkątne lub Okno Bartletta.

Skalowanie[edytuj | edytuj kod]

Dla dowolnego parametru a \ne 0 zachodzi:


\begin{align}
\operatorname{tri}(t/a) &= \int_{-\infty}^\infty \mathrm{rect}(\tau) \cdot \mathrm{rect}(\tau - t/a)\ d\tau \\
&= 
\begin{cases}
1 - |t/a|, & |t| < |a| \\
0, & \mbox{dla innych }t.
\end{cases}
\end{align}

Transformacja Fouriera[edytuj | edytuj kod]

Transformatę Fouriera funkcji trójkątnej można łatwo uzyskać, korzystając z twierdzenia o splocie i transformaty funkcji prostokątnej:


\begin{align}
\mathcal{F}\{\operatorname{tri}(t)\} 
&= \mathcal{F}\{\operatorname{rect}(t) * \operatorname{rect}(t)\}\\
&= \mathcal{F}\{\operatorname{rect}(t)\}\cdot \mathcal{F}\{\operatorname{rect}(t)\}\\
&= \mathcal{F}\{\operatorname{rect}(t)\}^2\\
&= \mathrm{sinc}^2(f) .
\end{align}

Zobacz też[edytuj | edytuj kod]