Funkcja sinc

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacji, wyszukiwania
Znormalizowana i nieznormalizowana funkcja sinc

Nieznormalizowana funkcja sinc (od łac. sinus cardinalis) – w matematyce znana również jako funkcja interpolująca lub pierwsza sferyczna funkcja Bessela j_0(x). Powstaje z funkcji sinus oraz funkcji homograficznej. Jest definiowana jako:

\operatorname{sinc}\ x

= \begin{cases}
{\sin x \over x}&\mbox{dla }x\ne 0 \\
1 &\mbox{dla }x=0
\end{cases}

Funkcja \operatorname{sinc} jest czasami zapisywana jako \sin(x)/x.

Znormalizowana funkcja sinc, oznaczana tym samym symbolem:

\operatorname{sinc}\ x

= \begin{cases}
\frac{\sin(\pi x)}{\pi x}&\mbox{dla }x\ne 0 \\
1 &\mbox{dla }x =0
\end{cases}

Funkcja sinc, jest transformatą Fouriera funkcji prostokątnej. Ma szerokie zastosowanie w przetwarzaniu sygnałów i analizie filtrów. W teorii sygnałów zwana jest też jako Sa od angielskiego słowa sampling (próbkowanie).

Własności[edytuj | edytuj kod]

Lokalne extremum z \sin x/x znajduje się na przecięciu z funkcją cosinus.
  • Miejsca zerowe nieznormalizowana funkcja sinc przyjmuje dla argumentów będących całkowitą niezerową wielokrotnością liczby \pi, podczas gdy dla znormalizowanej formy są to wszystkie liczby całkowite oprócz zera.
  • Każde lokalne ekstremum funkcji \sin x/x ma punkt wspólny z \cos x. Innymi słowy \sin \xi/\xi = \cos \xi dla wszystkich punktów \xi, w których pierwsza pochodna funkcji \sin x/x wynosi zero. W punkcie \xi_0 = 0 znajduje się maksimum globalne.
\frac{\sin(\pi x)}{\pi x} = \prod_{n=1}^\infty \left(1 - \frac{x^2}{n^2}\right)\,\!
\frac{\sin(x)}{x} = \prod_{n = 1}^\infty \cos\left(\frac{x}{2^n}\right).
\int_{-\infty}^\infty \mathrm{sinc}(t) \, e^{-i 2 \pi f t}\,dt = \mathrm{rect}(f),\,\!
co oznacza, że funkcja ta jest odpowiedzią impulsową idealnego filtru dolnoprzepustowego. W szczególności zachodzi:
\int_{-\infty}^\infty \frac{\sin(\pi x)}{\pi x} \, dx = \mathrm{rect}(0) = 1\,\!

Bibliografia[edytuj | edytuj kod]

  • Jerzy Szabatin, Przetwarzanie sygnałów 2003