Funkcja sinc

Znormalizowana i nieznormalizowana funkcja sinc

Nieznormalizowana funkcja sinc (od łac. sinus cardinalis) – w matematyce znana również jako funkcja interpolująca lub pierwsza sferyczna funkcja Bessela $j_0(x)$. Powstaje z funkcji sinus oraz funkcji homograficznej. Jest definiowana jako:

$\operatorname{sinc}\ x = \begin{cases} {\sin x \over x}&\mbox{dla }x\ne 0 \\ 1 &\mbox{dla }x=0 \end{cases}$

Funkcja $\operatorname{sinc}$ jest czasami zapisywana jako $\sin(x)/x$.

Znormalizowana funkcja sinc, oznaczana tym samym symbolem:

$\operatorname{sinc}\ x = \begin{cases} \frac{\sin(\pi x)}{\pi x}&\mbox{dla }x\ne 0 \\ 1 &\mbox{dla }x =0 \end{cases}$

Funkcja sinc, jest transformatą Fouriera funkcji prostokątnej. Ma szerokie zastosowanie w przetwarzaniu sygnałów i analizie filtrów. W teorii sygnałów zwana jest też jako Sa od angielskiego słowa sampling (próbkowanie).

Własności

Lokalne extremum z $\sin x/x$ znajduje się na przecięciu z funkcją cosinus.

• Funkcja jest parzysta i ciągła.

• Miejsca zerowe nieznormalizowana funkcja sinc przyjmuje dla argumentów będących całkowitą niezerową wielokrotnością liczby $\pi$, podczas gdy dla znormalizowanej formy są to wszystkie liczby całkowite oprócz zera.

• Każde lokalne ekstremum funkcji $\sin x/x$ ma punkt wspólny z $\cos x$. Innymi słowy $\sin \xi/\xi = \cos \xi$ dla wszystkich punktów $\xi$, w których pierwsza pochodna funkcji $\sin x/x$ wynosi zero. W punkcie $\xi_0 = 0$ znajduje się maksimum globalne.

• Znormalizowaną funkcję sinc można zapisać jako iloczyn nieskończony

$\frac{\sin(\pi x)}{\pi x} = \prod_{n=1}^\infty \left(1 - \frac{x^2}{n^2}\right)\,\!$

• Euler odkrył, że

$\frac{\sin(x)}{x} = \prod_{n = 1}^\infty \cos\left(\frac{x}{2^n}\right).$

• Transformata Fouriera znormalizowanej funkcji sinc (względem częstotliwości) to funkcja prostokątna $\mathrm{rect}(f)$

$\int_{-\infty}^\infty \mathrm{sinc}(t) \, e^{-i 2 \pi f t}\,dt = \mathrm{rect}(f),\,\!$

co oznacza, że funkcja ta jest odpowiedzią impulsową idealnego filtru dolnoprzepustowego. W szczególności zachodzi:

$\int_{-\infty}^\infty \frac{\sin(\pi x)}{\pi x} \, dx = \mathrm{rect}(0) = 1\,\!$

Bibliografia

• Jerzy Szabatin, Przetwarzanie sygnałów 2003