Funkcja tworząca momenty

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Funkcja tworząca (generująca) momenty zmiennej losowej X\! jest zdefiniowana wzorem M_X(t)=E(e^{tX}).

Używając teorii związanej z funkcją tworzącą momenty wyprowadza się wiele oszacowań w rachunku prawdopodobieństwa. Klasyczną nierównością, w której występuje funkcja tworząca momenty, jest nierówność Chernoffa.

Funkcja R_X(t)=\ln(M_X(t)) nazywana jest funkcją generującą kumulanty. Kumulanty zmiennej losowej X to wielkości \kappa_n spełniające własność:

R_X(t)=\sum_{n=1}^\infty \frac{\kappa_n t^n}{n!}.

Własności[edytuj | edytuj kod]

Funkcji tworzącej momenty można użyć, by obliczyć dowolny moment zmiennej losowej. Gdy rozwiniemy funkcję tworzącą momenty w szereg Taylora, otrzymamy:


M_X(t) = E(e^{tX}) = 1 + tE[X] + \frac{t^2E[X^2]}{2!} + \frac{t^3E[X^3]}{3!}+\cdots,

Jeśli zróżniczkujemy całe wyrażenie i-krotnie po t, i podstawimy t  = 0 , otrzymamy i-ty moment zmiennej losowej X.

Przykład: Załóżmy, że chcemy obliczyć wartość oczekiwaną (pierwszy moment) zmiennej losowej X o rozkładzie Poissona z parametrem λ . Funkcja generująca momenty dla rozkładu Poissona to


M_X(t) = e^{\lambda(e^t-1)}

Gdy policzymy pierwszą pochodną po t otrzymamy


(e^{\lambda(e^t-1)})' = \lambda e^{\lambda(e^t-1)+t}

Teraz, gdy podstawimy t = 0 otrzymamy:


\lambda e^{\lambda(e^t-1)+t} = \lambda e^{\lambda(e^0-1)+0} = \lambda e^{\lambda(1-1)} = \lambda


Inna własność jest następująca: Jeśli


Y = \sum_{k=0}^n a_kX_k

jest sumą n niezależnych zmiennych losowych (a to stałe), to funkcją generującą momenty dla Y jest:


M_{Y} =  M_{X_1}(a_1t)M_{X_2}(a_2t)\cdots M_{X_n}(a_nt)

Zobacz też[edytuj | edytuj kod]

Bibliografia[edytuj | edytuj kod]