Funkcjonał Minkowskiego

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacji, wyszukiwania

Funkcjonał Minkowskiego - podaddytywny i dodatnio jednorodny funkcjonał związany z pochłaniającymi i wypukłymi podzbiorami przestrzeni liniowej

Definicja[edytuj | edytuj kod]

Podzbiór A przestrzeni liniowej X nazywa się pochłaniającym, gdy dla każdego elementu x przestrzeni X istnieje taka liczba dodatnia α, że xαA. Zbiory pochłaniające i wypukłe nazywa się zbiorami Minkowskiego. Jeżeli A jest zbiorem Minkowskiego, to funkcjonał

\mu_A\colon X\to [0,\infty)

określony wzorem

\mu_A(x)=\inf\{\alpha\in (0,\infty)\colon\; x\in \alpha A\},

nazywa się funkcjonałem Minkowskiego zbioru A.

Własności[edytuj | edytuj kod]

Niech AX będzie zbiorem Minkowskiego. Wówczas

  • \mu_A(x+y)\leqslant \mu_A(x)+\mu_A(y) dla x,y\in X,
  • \mu_A(\alpha x)=\alpha \mu_A(x) dla x\in X oraz \alpha\in [0,\infty),
  • x\in \alpha A dla każdego x\in X oraz \alpha>\mu_A(x),
  • \{x\in X\colon\, \mu_A(x)<1\}\subseteq A \subseteq \{x\in X\colon\, \mu_A(x)\leqslant 1\}. Ponadto, zbiory \{x\in X\colon\, \mu_A(x)<1\}, \{x\in X\colon\, \mu_A(x)\leqslant 1\} są zbiorami Minkowskiego i \mu_A jest funkcjonałem Minkowskiego każdego z tych zbiorów.

Jeżeli, ponadto, A jest zbiorem zbalansowanym, to μA jest półnormą w przestrzeni X.

Bibliografia[edytuj | edytuj kod]

  • Y. Eidelman, V. Milman, A. Tsolomitis. Functional Analysis: An Introduction, American Mathematical Society, 2004, ss. 146-148.