Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Funkcjonał Minkowskiego – podaddytywny i dodatnio jednorodny funkcjonał związany z pochłaniającymi i wypukłymi podzbiorami przestrzeni liniowej .
Podzbiór
A
{\displaystyle A}
X
{\displaystyle X}
pochłaniającym , gdy dla każdego elementu
x
{\displaystyle x}
X
{\displaystyle X}
α
,
{\displaystyle \alpha ,}
x
∈
α
A
.
{\displaystyle x\in \alpha A.}
zbiorami Minkowskiego . Jeżeli
A
{\displaystyle A}
μ
A
:
X
→
[
0
,
∞
)
{\displaystyle \mu _{A}\colon X\to [0,\infty )}
określony wzorem
μ
A
(
x
)
=
inf
{
α
∈
(
0
,
∞
)
:
x
∈
α
A
}
,
{\displaystyle \mu _{A}(x)=\inf\{\alpha \in (0,\infty )\colon \;x\in \alpha A\},}
nazywa się funkcjonałem Minkowskiego zbioru
A
.
{\displaystyle A.}
Niech
A
⊆
X
{\displaystyle A\subseteq X}
μ
A
(
x
+
y
)
⩽
μ
A
(
x
)
+
μ
A
(
y
)
{\displaystyle \mu _{A}(x+y)\leqslant \mu _{A}(x)+\mu _{A}(y)\;{}}
x
,
y
∈
X
,
{\displaystyle {}\;x,y\in X,}
μ
A
(
α
x
)
=
α
μ
A
(
x
)
{\displaystyle \mu _{A}(\alpha x)=\alpha \mu _{A}(x)\;{}}
x
∈
X
{\displaystyle {}\;x\in X\;{}}
α
∈
[
0
,
∞
)
,
{\displaystyle {}\;\alpha \in [0,\infty ),}
x
∈
α
A
{\displaystyle x\in \alpha A\;{}}
x
∈
X
{\displaystyle {}\;x\in X\;{}}
α
>
μ
A
(
x
)
,
{\displaystyle \alpha >\mu _{A}(x),}
{
x
∈
X
:
μ
A
(
x
)
<
1
}
⊆
A
⊆
{
x
∈
X
:
μ
A
(
x
)
⩽
1
}
.
{\displaystyle \{x\in X\colon \,\mu _{A}(x)<1\}\subseteq A\subseteq \{x\in X\colon \,\mu _{A}(x)\leqslant 1\}.}
{
x
∈
X
:
μ
A
(
x
)
<
1
}
,
{
x
∈
X
:
μ
A
(
x
)
⩽
1
}
{\displaystyle \{x\in X\colon \,\mu _{A}(x)<1\},\{x\in X\colon \,\mu _{A}(x)\leqslant 1\}}
μ
A
{\displaystyle \mu _{A}}
Jeżeli, ponadto,
A
{\displaystyle A}
zbalansowanym , to
μ
A
{\displaystyle \mu _{A}}
półnormą w przestrzeni
X
.
{\displaystyle X.}
Y. Eidelman, V. Milman, A. Tsolomitis, Functional Analysis: An Introduction , „American Mathematical Society”, 2004, s. 146–148. 
