Przestrzeń liniowa

Przestrzeń liniowa to zbiór obiektów (nazywanych wektorami), które mogą być skalowane i dodawane.

Przestrzeń liniowa lub wektorowa – w matematyce zbiór obiektów (nazywanych "wektorami"), które mogą być, nieformalnie rzecz ujmując, skalowane i dodawane. Formalnie jest to zbiór z określonymi dwoma działaniami: dodawaniem elementów tej przestrzeni (wektorów) i mnożeniem przez elementy ustalonego ciała, które związane są ze sobą poniższymi aksjomatami. Przestrzenie liniowe to podstawowy obiekt badań algebry liniowej i analizy funkcjonalnej. Znajdują zastosowanie niemal we wszystkich gałęziach matematyki, naukach ścisłych i inżynierii.

Naturalnymi przykładami przestrzeni liniowych są dwu- i trójwymiarowe przestrzenie euklidesowe. Wektory w tych przestrzeniach utożsamiane są odpowiednio z parami i trójkami uporządkowanymi liczb rzeczywistych, reprezentowanymi często w postaci wektorów geometrycznych charakteryzowanych przez kierunek, zwrot oraz wartość, które zwykle przedstawia się jako strzałki. Wektory takie mogą być sumowane wg reguły równoległoboku (dodawanie wektorów) lub mnożone przez liczby rzeczywiste (mnożenie przez skalar). Właściwości wektorów geometrycznych stanowią dobry intuicyjny model dla wektorów w bardziej abstrakcyjnych przestrzeniach liniowych, które nie mają interpretacji geometrycznej. Przykładem takiej przestrzeni jest np. zbiór wszystkich wielomianów o współczynnikach rzeczywistych.

Definicja

Niech $(K, +, \cdot)$ będzie ciałem (jakim są np. liczby rzeczywiste czy liczby zespolone), którego elementy nazywane będą skalarami, a ono samo – ciałem skalarów. Przestrzenią liniową bądź wektorową nad ciałem $K$ nazywa się zbiór $V$ z dwoma działaniami dwuargumentowymi:

• dodawaniem wektorów: $V \times V \to V$ oznaczanym $\mathbf v \boldsymbol + \mathbf w$, gdzie $\mathbf v, \mathbf w \in V$ i
• mnożeniem przez skalar: $K \times V \to V$ oznaczanym $a\mathbf v$, gdzie $a \in K$ oraz $\mathbf v \in V$,

które spełniają poniższe aksjomaty. Pierwsze cztery czynią z wektorów grupę abelową ze względu na dodawanie, kolejne dwa są prawami rozdzielności.

1. Dodawanie wektorów jest łączne:

   Dla dowolnych $\mathbf u, \mathbf v, \mathbf w \in V$ zachodzi $\mathbf u \boldsymbol + (\mathbf v \boldsymbol + \mathbf w) = (\mathbf u \boldsymbol + \mathbf v) \boldsymbol + \mathbf w$.

2. Dodawanie wektorów jest przemienne:

   Dla dowolnych $\mathbf v, \mathbf w \in V$ jest $\mathbf v \boldsymbol + \mathbf w = \mathbf w \boldsymbol + \mathbf v$.

3. Dodawanie wektorów ma element neutralny:

   Istnieje taki element $\boldsymbol 0 \in V$, nazywany wektorem zerowym, że $\mathbf v \boldsymbol + \boldsymbol 0 = \mathbf v$ dla dowolnego $\mathbf v \in V$.

4. Dodawanie wektorów ma elementy odwrotne:

   Dla każdego $\mathbf v \in V$ istnieje element $\mathbf w \in V$, nazywany wektorem przeciwnym do $\mathbf v$, taki, że $\mathbf v \boldsymbol + \mathbf w = \boldsymbol 0$.

5. Mnożenie przez skalar jest rozdzielne względem dodawania wektorów:

   Dla każdego $a \in K$ oraz $\mathbf v, \mathbf w \in V$ jest $a(\mathbf v \boldsymbol + \mathbf w) = a\mathbf v \boldsymbol + a\mathbf w$.

6. Mnożenie przez wektor jest rozdzielne względem dodawania skalarów:

   Dla każdych $a, b \in K$ oraz $\mathbf v \in V$ zachodzi $(a + b)\mathbf v = a\mathbf v \boldsymbol + b\mathbf v$.

7. Mnożenie przez skalar jest zgodne z mnożeniem skalarów:

   Dla dowolnych $a, b \in K$ oraz $\mathbf v \in V$ jest $a(b\mathbf v) = (a \cdot b)\mathbf v$.

8. Mnożenie przez skalar ma element neutralny:

   Dla dowolnego $\mathbf v \in V$ jest $1\mathbf v = \mathbf v$, gdzie $1$ oznacza element neutralny mnożenia w $K$.

Uwagi

Formalnie przestrzeń liniowa nad ciałem $K$ jest strukturą matematyczną $(V, K, +, \cdot, \boldsymbol +, \boldsymbol \cdot)$, w której:

• $(V, \boldsymbol +)$ jest grupą abelową (aksjomaty 1-4),
• $(K, +, \cdot)$ jest ciałem,

wyposażoną w działanie $\boldsymbol \cdot \colon K \times V \to V$ (wyżej nieoznaczane) spełniające aksjomaty 5-8.

Wyżej przedstawione aksjomaty stanowią definicję modułu (nad pierścieniem), w ten sposób przestrzeń liniową można zwięźle zdefiniować jako moduł nad ciałem (gdyż każde ciało jest pierścieniem; co więcej, wspomniany moduł jest wolny).

Siódmy aksjomat nie opisuje łączności, gdyż obecne są w nim dwa różne działania: mnożenie przez skalar, $b\mathbf v$, oraz mnożenie skalarów (z ciała), $a \cdot b$.

Niektóre źródła zawierają również dodatkowe dwa aksjomaty domkniętości:

1. Przestrzeń $V$ jest zamknięta ze względu na dodawanie wektorów,

   jeżeli $\mathbf u, \mathbf v \in V$, to $\mathbf u \boldsymbol + \mathbf v \in V$.

2. Przestrzeń $V$ jest zamknięta ze względu na mnożenie przez skalar,

   jeżeli $a \in K, \mathbf v \in V$, to $a\mathbf v \in V$.

Jednakże zwykle działanie definiuje się jako odwzorowanie o przeciwdziedzinie $V$, co pociąga za sobą powyższe stwierdzenia i eliminuje potrzebę ich dodawania jako niezależnych aksjomatów. Aksjomaty domkniętości są niezbędne do określenia, czy dany podzbiór przestrzeni liniowej jest jej podprzestrzenią.

Wyrażenia postaci „$\mathbf v a$”, gdzie $\mathbf v \in V$ oraz $a \in K$, ściśle rzecz ujmując są nieokreślone. Jednakże z powodu przemienności w ciele skalarów wyrażenia „$a\mathbf v$” oraz „$\mathbf v a$” traktuje się jako tożsame. Jeżeli przestrzeń liniowa $V$ jest algebrą nad ciałem $K$, to dla $\mathbf v \in V, \mathbf w \in V$ oraz $a \in K$ zachodzi $a \mathbf v \mathbf w = \mathbf v a \mathbf w$, co usprawiedliwia traktowanie wyrażeń „$a\mathbf v$” i „$\mathbf v a$” jako reprezentacji tego samego wektora.

Symbol $\cdot$ pomija się często dla działania mnożenia w ciele rezerwując go dla iloczynu skalarnego lub rezygnuje się z niego całkowicie, gdyż rodzaj mnożenia można zwykle jednoznacznie określić na podstawie rodzaju czynników.

Podstawowe własności

Następujące własności można wyprowadzić wprost z aksjomatów przestrzeni liniowych:

• wektor zerowy $\boldsymbol 0 \in V$ jest wyznaczony jednoznacznie,

  jeżeli $\boldsymbol 0_1, \boldsymbol 0_2$ są zerami w $V$ takimi, że $\boldsymbol 0_1 \boldsymbol + \mathbf v = \mathbf v$ oraz $\boldsymbol 0_2 \boldsymbol + \mathbf v = \mathbf v$, to $\boldsymbol 0_1 = \boldsymbol 0_2 = \boldsymbol 0$,

• mnożenie wektora zerowego przez skalar daje wektor zerowy,

  dla dowolnego $a \in K$ jest $a\boldsymbol 0 = \boldsymbol 0$,

• mnożenie skalarne wektora przez zero daje wektor zerowy,

  dla każdego $\mathbf v \in V$ zachodzi $0\mathbf v = \boldsymbol 0$, gdzie $0$ jest elementem neutralnym dodawania w $K$,

• żadne inne mnożenie przez skalar nie daje zera,

  $a\mathbf v = \boldsymbol 0$ wtedy i tylko wtedy, gdy $a = 0$ lub $\mathbf v = \boldsymbol 0$,

• wektor $\boldsymbol -\mathbf v$ odwrotny względem dodawania do $\mathbf v$ jest wyznaczony jednoznacznie,

  niech $\mathbf{w_1}, \mathbf{w_2}$ będą odwrotnościami $\mathbf v \in V$ takimi, że $\mathbf v \boldsymbol + \mathbf{w_1} = \boldsymbol 0$ oraz $\mathbf v \boldsymbol + \mathbf{w_2} = \boldsymbol 0$, wówczas $\mathbf{w_1} = \mathbf{w_2}$. Wektor $\boldsymbol-\mathbf v$ nazywamy przeciwnym do $\mathbf v$ i definiujemy odejmowanie jako $\mathbf u \boldsymbol - \mathbf v \equiv \mathbf u \boldsymbol + (\boldsymbol -\mathbf v)$,

• mnożenie skalarne przez jednostkę ujemną daje wektor przeciwny,

  dla każdego $\mathbf v \in V$ mamy $(-1)\mathbf v = \boldsymbol-\mathbf v$, gdzie $1$ oznacza element odwrotny względem mnożenia w $K$.

• ujemność jest całkowicie przemienna,

  dla każdego $a \in K$ oraz $\mathbf v \in V$ zachodzi $(-a)\mathbf v = a(\boldsymbol -\mathbf v) = \boldsymbol -(a\mathbf v)$.

Podprzestrzeń liniowa i baza

Niepusty podzbiór $W$ przestrzeni liniowej $V$ zamknięty ze względu na dodawanie i mnożenie skalarne nazywa się podprzestrzenią tej przestrzeni. Równoważnie: podzbiory przestrzeni, które same są przestrzeniami liniowymi nazywa się podprzestrzeniami liniowymi (nad tym samym ciałem). Część wspólna wszystkich podprzestrzeni zawierających dany zbiór wektorów nazywa się jego powłoką (liniową) lub otoczką (liniową); mówi się również że zbiór ten rozpina pewną podprzestrzeń. Jeżeli żaden z wektorów nie może być z niej usunięty, to mówi się, że zbiór jest liniowo niezależny. Liniowo niezależny zbiór, który rozpina $V$ nazywany jest bazą $V$.

Felix Hausdorff udowodnił, na gruncie ZFC, że każda przestrzeń liniowa ma bazę. Dowód tego faktu oparty jest na lemacie Kuratowskiego-Zorna. Ze słabszego od aksjomatu wyboru lematu o istnieniu ultrafiltrów w algebrach Boole'a (BPI) wynika, że wszystkie bazy danej przestrzeni liniowej są równoliczne. Jeśli $V$ jest przestrzenią liniową, to moc jej bazy nazywa się wymiarem przestrzeni $V$ i oznacza $\dim V$. Na przykład wymiar rzeczywistej przestrzeni liniowej $\mathbb R^3$, czyli $\dim \mathbb R^3$, wynosi trzy, gdyż każdy element tej przestrzeni daje się przedstawić jako kombinacja wektorów należących np. do zbioru $\{(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)\}$. Istnieją przestrzenie liniowe, dla których nie można wskazać żadnej bazy, ale przy założeniu aksjomatu wyboru wiadomo, że ona istnieje.

W 1984 roku Andreas Blass wykazał, że istnienie bazy każdej przestrzeni liniowej jest równoważne z aksjomatem wyboru.

Przekształcenia liniowe

Dla danych dwóch przestrzeni liniowych $V$ oraz $W$ nad tym samym ciałem $K$ można zdefiniować przekształcenia liniowe lub odwzorowania liniowe z $V$ do $W$. Są to funkcje $f\colon V \to W$ zachowujące ich struktury, tzn. zachowujące sumy wektorów i iloczyny wektorów przez skalary. Zbiór wszystkich przekształceń liniowych z $V$ do $W$, oznaczany $\operatorname{Hom}_K(V, W)$, sam stanowi przestrzeń liniową nad $K$. Jeżeli dane są bazy $V$ i $W$, przekształcenia liniowe można wyrazić w pojęciach składowych za pomocą macierzy nazywanych macierzami przekształceń liniowych.

Izomorfizm to przekształcenie liniowe $f\colon V \to W$, które jest jednocześnie bijekcją przestrzeni $V$ na przestrzeń $W$. Jeśli istnieje izomorfizm między $V$ a $W$, to mówi się, że przestrzenie te są izomorficzne, jako że przestrzenie liniowe mają tę samą strukturę.

Jak wspomniano wcześniej, wymiar przestrzeni jest niezmiennikiem izomorfizmu: otóż jeśli $\{x_i\colon\; i \in I\}$ jest bazą przestrzeni $V$, to $\{f(x_i)\colon\; i \in I\}$ jest bazą przestrzeni $W$. Okazuje się, że nie ma innych niezmienników izomorfizmów. Wszystkie przestrzenie $n$-wymiarowe nad ciałem $K$ są izomorficzne, tj. izomorficzne z przestrzenią współrzędnych $K^n$. Konsekwencją tego twierdzenia jest możliwość badania przestrzeni liniowych skończonego wymiaru za pomocą metod właściwych przestrzeniom współrzędnych, znajdując uprzednio izomorfizm między tymi przestrzeniami.

Izomorfizmy między dowolnymi przestrzeniami liniowymi wyznaczone jednoznacznie są tylko w dwóch przypadkach szczególnych: gdy $V = W = \{\boldsymbol 0\}$ lub gdy $V, W$ są jednowymiarowymi przestrzeniami nad ciałem dwuelementowym. Niekiedy między przestrzeniami liniowymi istnieją izomorfizmy niezależne od jakichkolwiek wyborów (np. wyborów baz). O takich izomorfizmach mówi się, że są kanoniczne bądź naturalne. Przykładem izomorfizmu kanonicznego przestrzeni będących iloczynami tensorowymi przestrzeni, odpowiednio $V$ i $W$ oraz $W$ i $V$, jest odwzorowanie $\mathbf v \otimes \mathbf w \mapsto \mathbf w \otimes \mathbf v$ dla $\mathbf v \in V,\; \mathbf w \in W$.

Przestrzenie liniowe nad ustalonym ciałem $K$ wraz z przekształceniami liniowymi są kategorią abelową.

Iloczyn przestrzeni

Jeśli $V, W$ są przestrzeniami liniowymi nad tym samym ciałem $K$, to w iloczynie kartezjańskim $V \times W$ można wprowadzić strukturę przestrzeni liniowej definiując działania dodawania wektorów i mnożenia wektora przez skalar w następujący sposób:

$(\mathbf{v_1}, \mathbf{w_1}) \oplus (\mathbf{v_2}, \mathbf{w_2}) = (\mathbf{v_1} \boldsymbol + \mathbf{v_2}, \mathbf{w_1} \boldsymbol + \mathbf{w_2})$,

$a \odot (\mathbf{v_1}, \mathbf{w_1}) = (a\mathbf{v_1}, a\mathbf{w_1})$,

dla $(\mathbf{v_1}, \mathbf{w_1}), (\mathbf{v_2}, \mathbf{w_2}) \in V \times W,\; a \in K$.

Analogicznie określa się iloczyn przestrzeni $V_1, \dots, V_n$.

Uogólnienia

Z abstrakcyjnego punktu widzenia przestrzenie liniowe są modułami nad ustalonym ciałem $K$. Dużą część algebry liniowej można uprawiać opierając się wyłącznie na tej strukturze. Częsta praktyka utożsamiania $a\mathbf v$ oraz $\mathbf v a$ w przestrzeniach liniowych prowadzi do pojęcia $K\mbox{-}K$ bimodułu. W ogólności moduły nie muszą mieć baz; te, które je mają (włączając w to wszystkie przestrzenie liniowe) nazywa się modułami wolnymi.

Rodzina przestrzeni liniowych sparametryzowana w sposób ciągły za pomocą związanej z nią przestrzeni topologicznej nazywa się wiązką wektorową.

Przestrzeń afiniczna jest zbiorem z przechodnim działaniem przestrzeni liniowej na sobie. Warto zauważyć, że przestrzeń liniowa jest przestrzenią afiniczną nad sobą przez odwzorowanie strukturalne

$\Theta\colon V^2 \to V, \; (\mathbf a, \mathbf b) \mapsto \mathbf a \boldsymbol - \mathbf b$.

Dodatkowe struktury

W matematyce rozważa się również przestrzenie liniowe będące zarazem przestrzeniami topologicznymi. Topologia określona na przestrzeni liniowej umożliwia w istocie wprowadzenie struktury jednostajnej. Jeśli przestrzeń ma nieskończony wymiar, to można na niej określić więcej niż jedną nierównoważną topologię.

• Przestrzeń unormowaną (unitarną), zupełną ze względu na metrykę generowaną przez normę (względnie normę pochodzącą od iloczynu skalarnego), nazywa się przestrzenią Banacha (względnie przestrzenią Hilberta).
• Przestrzeń liniową z określonym iloczynem skalarnym nazywa się przestrzenią unitarną (prehilbertowską).
• Rzeczywistą bądź zespoloną przestrzeń liniową z określonym uogólnieniem pojęcia długości wektora – normą – nazywa się przestrzenią unormowaną.

Wszystkie powyższe przestrzenie są szczególnymi rodzajami tzw. przestrzeni liniowo-topologicznych, tzn.

• przestrzeni liniowych wyposażonych w topologię zgodną z jej strukturą liniową: taką, w której dodawanie i mnożenie przez skalar są ciągłe.

Szerszą klasyfikację tego rodzaju przestrzeni można znaleźć w artykule dot. przestrzeni liniowo-topologicznych. W przestrzeniach tych wprowadza się pojęcie zbieżności (za pomocą topologii, metryki, normy), oraz rozważa się sumę nieskończonej liczby wektorów (tzw. szeregi).

Badanie zbieżności ciągów elementów takich przestrzeni jest ważne także z punktu widzenia zagadnień praktycznych. Na przykład w mechanice kwantowej układy fizyczne definiuje się jako pewne przestrzenie Hilberta – przydatnym bywa rozwijanie elementów tych przestrzeni w (uogólniony) szereg Fouriera.

Ponadto wyróżnia się również inne obiekty:

• Przestrzeń liniowa z dodatkowym działaniem dwuliniowym określającym mnożenie dwóch wektorów nazywa się algebrą nad ciałem.
• Przestrzeń liniowa z wprowadzonym w sposób zgodny ze strukturą przestrzeni porządkiem częściowym wektorów nazywa się uporządkowaną przestrzenią liniową.

Alternatywny zestaw aksjomatów

Aksjomaty 3. i 4. można zastąpić następującym aksjomatem 9.:

Dla dowolnych $\mathbf{u},\,\mathbf{v}\in V$ zachodzi $0\mathbf{u}=0\mathbf{v}.$

Poniższy dowód równoważności pochodzi z A Note on the Independence of the Axioms for a Vector Space A. J. van der Poortena.

Przy założeniu aksjomatów 1. i 2. oraz 5.-9. mamy

$0\mathbf{u}+\mathbf{v}=0\mathbf{v}+\mathbf{v}=0\mathbf{v}+1\mathbf{v}=(0+1)\mathbf{v}=1\mathbf{v}=\mathbf{v}$ oraz

$\mathbf{u}+(-1)\mathbf{u}=1\mathbf{u}+(-1)\mathbf{u}=(1+(-1))\mathbf{u}=0\mathbf{u},$

skąd wynika, że $0\mathbf{u}$ jest elementem neutralnym i $(-1)\mathbf{u}$ jest elementem przeciwnym do $\mathbf{u}.$

Natomiast przy założeniu aksjomatów 1.-8. jest

$0\mathbf{u}+\mathbf{v}=\mathbf{0}+(0\mathbf{u}+\mathbf{v})=(\mathbf{0}+0\mathbf{u})+\mathbf{v}=((\mathbf{u}+(-\mathbf{u}))+0\mathbf{u})+\mathbf{v}=((\mathbf{u}+0\mathbf{u})+(-\mathbf{u}))+\mathbf{v}$ $=((1\mathbf{u}+0\mathbf{u})+(-\mathbf{u}))+\mathbf{v}=((1+0)\mathbf{u}+(-\mathbf{u}))+\mathbf{v}=(1\mathbf{u}+(-\mathbf{u}))+\mathbf{v}=(\mathbf{u}+(-\mathbf{u}))+\mathbf{v}=\mathbf{0}+\mathbf{v}=\mathbf{v}$

A więc w szczególności $\mathbf{0}=0\mathbf{u}+\mathbf{0}=0\mathbf{u}$ dla dowolnego $\mathbf{u}\in V,$ a zatem zachodzi 9.

Zobacz też

• kombinacja liniowa
• liniowa niezależność
• pole wektorowe
• wektor