Funkcja jednorodna

Funkcja jednorodna – funkcja o multiplikatywnym zachowaniu skalującym: jeżeli argument został pomnożony przez pewien współczynnik, to wynik zostanie pomnożony przez pewną potęgę tego współczynnika. Własności funkcji jednorodnych stopnia $n$ używa się do rozwiązywania jednorodnych równań różniczkowych zwyczajnych. Pojęcie funkcji jednorodnej uogólnia się bez zmian na moduły nad pierścieniami.

Definicja

Niech $X, Y$ będą przestrzeniami liniowymi nad ciałem $K$. Funkcja $f\colon X \to Y$ nazwana zostanie jednorodną (stopnia 1), jeżeli dla dowolnych $a \in K$ oraz $\mathbf x \in X$ zachodzi

$f(a\mathbf x) = af(\mathbf x).$

Jeżeli dla $a > 0$ oraz $n \in \mathbb N$ zachodzi wzór

$f(a \mathbf x) = a^n f(\mathbf x),$

to funkcję $f$ nazywa się jednorodną stopnia $n$

Jeśli funkcja $f$ spełnia dla każdego $\mathbf x \in X$ oraz $a \in K$, gdzie $K$ jest ciałem uporządkowanym, warunek

$f(a\mathbf x) = |a|f(\mathbf x),$

to nazywa się ją dodatnio jednorodną.

Zobacz też

• funkcja addytywna,
• przekształcenie liniowe,
• równanie różniczkowe.