Funkcja jednorodna

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Funkcja jednorodnafunkcja o multiplikatywnym zachowaniu skalującym: jeżeli argument został pomnożony przez pewien współczynnik, to wynik zostanie pomnożony przez pewną potęgę tego współczynnika. Własności funkcji jednorodnych stopnia n używa się do rozwiązywania jednorodnych równań różniczkowych zwyczajnych. Pojęcie funkcji jednorodnej uogólnia się bez zmian na moduły nad pierścieniami.

Definicja[edytuj | edytuj kod]

Niech X, Y będą przestrzeniami liniowymi nad ciałem K. Funkcja f\colon X \to Y nazwana zostanie jednorodną (stopnia 1), jeżeli dla dowolnych a \in K oraz \mathbf x \in X zachodzi

f(a\mathbf x) = af(\mathbf x).

Jeżeli dla a > 0 oraz n \in \mathbb N zachodzi wzór

f(a \mathbf x) = a^n f(\mathbf x),

to funkcję f nazywa się jednorodną stopnia n

Jeśli funkcja f spełnia dla każdego \mathbf x \in X oraz a \in K, gdzie K jest ciałem uporządkowanym, warunek

f(a\mathbf x) = |a|f(\mathbf x),

to nazywa się ją dodatnio jednorodną.

Zobacz też[edytuj | edytuj kod]