Graniczna liczba porządkowa

Graniczna liczba porządkowa - liczba porządkowa, która nie jest następnikiem innej liczby porządkowej. Bardziej precyzyjnie liczba porządkowa $\lambda\,$ jest graniczną liczbą porządkową wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdej innej liczby porządkowej $\alpha < \lambda$ zachodzi $\alpha+1 < \lambda$. Liczba porządkowa jest graniczna wtedy i tylko wtedy, gdy jest równa sumie (teoriomnogościowej) swoich elementów (w przeciwnym wypadku suma ta jest jest poprzednikiem). Liczba 0 również spełnia definicję liczby granicznej, jednak czasem ze względów technicznych matematycy nie zaliczają jej do ich grona.

Przykłady

• Żadna skończona liczba porządkowa (liczba naturalna) większa niż 0 nie jest graniczna.
• ω jest liczbą porządkową graniczną - istnienie tej liczby gwarantuje aksjomat nieskończoności.
• Istnieje nieprzeliczalnie wiele przeliczalnych liczb porządkowych granicznych.
• Każda liczba epsilonowa jest graniczna.
• $\omega_1=\mathbb{H}(\omega)$, gdzie $\mathbb{H}$ oznacza wartość funkcji Hartogsa na zbiorze $\omega$, jest najmniejszą nieprzeliczalną liczbą porządkową, będącą jednocześnie liczbą graniczną.
• Każda liczba kardynalna jest liczbą porządkową graniczną.

Przykładami porządkowych liczb granicznych są:

$0, \omega, \omega+\omega, \ldots, \omega\cdot n, \ldots, \omega^2, \ldots, \omega^m, \ldots, \omega^\omega, \omega^{\omega^\omega}, \ldots, \varepsilon_0= \omega^{\omega^{\omega^\ldots}}, \ldots$.

gdzie n i m są dowolnymi liczbami naturalnymi.

Bibliografia

1. Aleksander Błaszczyk, Sławomir Turek: Teoria Mnogości. Warszawa: PWN, 2007. 
2. Wacław Sierpiński: Cardinal and ordinal numbers. Wyd. drugie poprawione. Warszawa: PWN, 1965.