Ideał pierwszy (teoria mnogości)

Ideał pierwszy – pojęcie teorii mnogości i logiki matematycznej.

Niech ${\mathcal {K}}=\langle K,\sqcup ,\sqcap \rangle$ będzie kratą.

Ideałem w kracie ${\mathcal {K}}$ jest dowolny właściwy podzbiór $\Delta$ zbioru $K,$ dla którego

$a\in \Delta \,,\,b\leqslant a\;\Rightarrow \;b\in \Delta ,$

(1)

$a,b\in \Delta \;\Rightarrow \;a\sqcup b\in \Delta .$

(2)

Ideał jest pierwszy, jeśli ponadto

$a\sqcap b\in \Delta \;\Rightarrow \;a\in \Delta \,\vee \,b\in \Delta .$

(3)

Ideał jest maksymalny, jeśli nie jest podzbiorem właściwym innego ideału.

W kratach rozdzielnych ideałami pierwszymi są ideały maksymalne.

Pojęcie ideału w kracie jest dualne do pojęcia filtra. W algebrach Boole’a $\Delta$ jest ideałem wtedy i tylko wtedy, gdy $\{\neg a:\,a\in \Delta \,\}$ jest filtrem.

Przykłady

• W kracie podzbiorów zbioru nieskończonego, rodzina zbiorów skończonych jest ideałem.
• W kracie podzbiorów zbioru nieskończonego, rodzina zbiorów niepełnej mocy jest ideałem.
• W kracie podzbiorów przestrzeni z miarą, rodzina zbiorów miary zero jest ideałem.

Zastosowania

• logika matematyczna
• podstawy informatyki

Zobacz też

• ideał pierwszy (teoria pierścieni)
• filtr (matematyka), filtr pierwszy
• ultrafiltr
• przestrzeń Stone’a