Przestrzeń Stone’a
Zasugerowano, aby zintegrować ten artykuł z artykułem twierdzenie Stone’a o reprezentacji algebr Boole’a. Nie opisano powodu propozycji integracji. |
Przestrzeń Stone’a – przestrzeń topologiczna w rodzinie filtrów pierwszych danej kraty rozdzielnej (lub, co na jedno wychodzi, rodzinie ultrafiltrów w przypadku, gdy krata ta jest reduktem algebry Boole’a), która „koduje” informacje o wspomnianej kracie (algebrze Boole’a). W przypadku algebr Boole’a odpowiadające im przestrzenie Stone’a są zwartymi, zerowymiarowymi przestrzeniami Hausdorffa i często właśnie z tego względu przestrzenie topologiczne o tych trzech własnościach nazywane są również przestrzeniami Stone’a. Istnieje wzajemnie jednoznaczna odpowiedniość między kratami rozdzielnymi/algebrami Boole’a a przestrzeniami Stone’a (zob. twierdzenie Birkhoffa-Stone’a/twierdzenie Stone’a o reprezentacji algebr Boole’a), która jest szczególnym przypadkiem tzw. dualizmu Stone’a.
Definicja[edytuj | edytuj kod]
Niech będzie kratą rozdzielną i niech będzie rodziną wszystkich filtrów pierwszych w Odwzorowanie dane wzorem
nazywa się odwzorowaniem Stone’a.
Twierdzenie o reprezentacji dla krat rozdzielnych mówi, że odwzorowanie to jest monomorfizmem kraty w kratę mnogościową na zbiorze
Rodzina jest bazą pewnej przestrzeni topologicznej na Właśnie tę przestrzeń nazywa się przestrzenią Stone’a. Odwzorowanie Stone’a przyjmuje jako wartości zbiory otwarte tej przestrzeni.
Uwagi[edytuj | edytuj kod]
Istnieje szereg twierdzeń reprezentacyjnych dla różnych pokrewnych struktur, których idea nawiązuje do konstrukcji przestrzeni Stone’a w przypadku algebr Heytinga jest to twierdzenie o reprezentacji algebr Heytinga. Odpowiednikiem przestrzeni Stone’a dla monadycznych algebr Boole’a jest tzw. m-przestrzeń.