Interpolacja trygonometryczna

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacji, wyszukiwania

W matematyce interpolacja trygonometryczna jest metodą przybliżania funkcji za pomocą wielomianu trygonometrycznego (szeregu Fouriera). Interpolacja za pomocą wielomianu trygonometrycznego daje szczególnie dobre rezultaty przy przybliżaniu funkcji okresowych[1], gdyż metody używające klasycznych wielomianów, z faktu, że nie posiadają okresowości, dawały duże błędy przy przybliżaniu tego typu funkcji.

Szczególnym przypadkiem jest, gdy punkty węzłowe są równo-odległe. W takiej sytuacji rozwiązaniem jest dyskretna transformata Fouriera.

Metoda ogólna[edytuj | edytuj kod]

Opracowano na podstawie materiału źródłowego[1].

Założeniem każdej interpolacji jest: f(x_k)=y_k\, \quad k=0,1,...,(n-1) gdzie:

x_{k}=k \cdot \frac{2\pi}{n} \quad k=0,1,\ldots,(n-1)
Wtedy:
  • Dla nieparzystej ilości (n) punktów węzłowych:
m= \frac{n-1}{2}
\Theta(x)= \frac{A _{0} }{2}+ \sum_{k=1}^{m}[A _{k} \cdot \cos(k \cdot x)+B _{k} \cdot \sin(k \cdot x)  ]
  • Dla parzystej ilości (n) punktów węzłowych:
m= \frac{n}{2}
\Theta(x)= \frac{A _{0} }{2}+ \sum_{k=1}^{m-1}[A _{k} \cdot \cos(k \cdot x)+B _{k} \cdot \sin(k \cdot x)  ]+ \frac{A _{m} }{2} \cdot \cos(m \cdot x)
  • Dla obu powyższych przypadków:
A _{j}= \frac{2}{n} \sum_{k=0}^{n-1}[f(x _{k}) \cdot \cos(j \cdot x _{k} ) ]
B _{j}= \frac{2}{n} \sum_{k=0}^{n-1}[f(x _{k}) \cdot \sin(j \cdot x _{k} ) ]


Przykład[edytuj | edytuj kod]

Punkty węzłowe z przykładu i funkcja interpolująca \Theta(x) przez nie przechodząca
Dokonać interpolacji punktów za pomocą wielomianu trygonometrycznego:
\begin{array}{|c||cccc|}k & 0 & 1 & 2 & 3  \\f_k & 1 & 3 & -2 & -1 \end{array}


Rozwiązanie:
Ilość punktów interpolowanych: n=4 \, (parzyste)
Stopień: m=\frac{n}{2}=2
x_k=k\cdot \frac{2\pi}{4} \Rightarrow x_k=\left \{ 0,\ \frac{\pi}{2},\ \pi, \ \frac{3}{2}\pi\right \}
A_0=\frac{2}{n} \sum\limits_{k=0}^{n-1}f_k\cdot \cos(k\cdot x_k)= \frac{2}{4} \sum\limits_{k=0}^3 f_k\cdot \cos(k\cdot 0)= \frac{1}{2}(1\cdot 1+3\cdot 1-2\cdot 1-1\cdot 1)=\frac{1}{2}
A_1=\frac{2}{4} \sum\limits_{k=0}^{3}f_k\cdot \cos(k\cdot x_k)= \frac{1}{2}[1\cdot \cos(0)+3\cdot \cos(\frac{\pi}{2})-2\cdot \cos(\pi)-1\cdot \cos(\frac{3}{2}\pi)]=\frac{3}{2}
A_2=\frac{2}{4} \sum\limits_{k=0}^{3}f_k\cdot \cos(k\cdot x_k)= \frac{1}{2}[1\cdot \cos(0)+3\cdot \cos(\pi)-2\cdot \cos(2\pi)-1\cdot \cos(3\pi)]=-\frac{3}{2}
B_0=\frac{2}{n} \sum\limits_{k=0}^{n-1}f_k\cdot \sin(k\cdot x_k)= 0
B_1=\frac{2}{4} \sum\limits_{k=0}^{n-1}f_k\cdot \sin(k\cdot x_k)= \frac{1}{2}[1\cdot 0+3\cdot 1-2\cdot 0-1\cdot (-1)]=2
B_2=\frac{2}{n} \sum\limits_{k=0}^{n-1}f_k\cdot \sin(k\cdot x_k)= 0
Odpowiedź:
\Theta(x)=\frac{1}{4}+A_1\cdot \cos(x)+B_1\cdot \sin(x)+\frac{A_2}{2}\cdot \cos(2x)=\frac{1}{4}+\frac{3}{2}\cos(x)+2\sin(x)-\frac{3}{4} \cos(2x)

Wielomian zespolony[edytuj | edytuj kod]

Problem staje się bardziej naturalny jeśli sformujemy go w dziedzinie zespolonej. Możemy wtedy zapisać zależność na wielomian trygonometryczny w postaci:

 p(x) = \sum_{m=-n}^n c_m e^{imx}, \,

gdzie i jest wielkością urojoną. Jeśli założymy, że z = eix, wtedy

 p(z) = \sum_{m=-n}^n c_m z^{m}. \,

Redukuje to problem interpolacji trygonometrycznej do interpolacji wielomianowej na okręgu jednostkowym. Dowód i jednoznaczność interpolacji trygonometrycznej staje się więc wtedy równoważnym odpowiednim założeniom dla interpolacji wielomianowej[2].

Przypisy

  1. 1,0 1,1 Interpolacja Trygonometryczna i Szybka Transformata Fouriera. Uniwersytet Warszawski. [dostęp 2011-04-01].
  2. Interpolation using Fourier Polynomials (ang.). [dostęp 2011-03-26]. [zarchiwizowane z tego adresu (2011-06-11)].

Zobacz też[edytuj | edytuj kod]