Liczby urojone

Liczba urojona – liczba, która podniesiona do kwadratu daje wartość ujemną. Pojęcie to zostało wprowadzone przez Girolamo Cardano w XVI wieku, lecz nazwę nadał im Kartezjusz w 1637 roku. Nie zostały szerzej zaakceptowane aż do prac Eulera (1707–1783) i Gaussa (1777–1855).

Każda liczba urojona może zostać zapisana jako $bi,$ gdzie:

• $b$ jest liczbą rzeczywistą,
• $i$ jest jednostką urojoną spełniającą zależność $i^2 =-1.$

Należy pamiętać, że istnieją dwa pierwiastki spełniające tę równość: $i$ oraz $-i$ w związku z czym zapis $i=\sqrt{-1}$ jest niepoprawny.

Liczbą zespoloną nazywamy zaś liczbę $a + bi,$ gdzie $a$ oraz $b$ są liczbami rzeczywistymi.

Każda liczba zespolona może więc zostać zapisana jako suma liczby rzeczywistej i liczby urojonej.

Całkowite potęgi liczby $i$ powtarzają się cyklicznie. Dla $k \in \mathbb Z:$

$i^n = \begin{cases} 1, & n=4k \\ i, & n=4k+1 \\ -1, & n=4k+2 \\ -i, & n=4k+3 \end{cases}$

W elektronice, elektrotechnice i pokrewnych dziedzinach, jednostka urojona jest często zapisywana jako $j$ w celu uniknięcia pomyłki z wartością chwilową prądu elektrycznego, tradycyjnie oznaczaną literą $i.$