Szereg Fouriera

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacji, wyszukiwania

Szereg Fouriera – w matematyce szereg pozwalający rozłożyć funkcję okresową, spełniającą warunki Dirichleta, na sumę funkcji trygonometrycznych. Nauka na temat szeregów Fouriera jest gałęzią analizy Fouriera. Szeregi Fouriera zostały wprowadzone w 1807 roku przez Josepha Fouriera w celu rozwiązania równania ciepła dla metalowej płyty. Doprowadziło to jednak do przewrotu w matematyce i wprowadzenia wielu nowych teorii. Dziś mają one wielkie znaczenie między innymi w fizyce, teorii drgań, przetwarzaniu sygnałów, obrazów (kompresja jpeg), a nawet w muzyce (kompresja mp3)[1].

Definicja[edytuj | edytuj kod]

Niech dana będzie funkcja okresowa f: \mathbb{R} \to \mathbb{R} o okresie T \in \mathbb{R}^{+}, bezwzględnie całkowalna w przedziale \left [ \frac{-T}{2}, \frac{T}{2} \right ].

Trygonometrycznym szeregiem Fouriera funkcji f nazywamy szereg funkcyjny następującej postaci:

S(x) =  \frac{a_0}{2} + \sum_{n = 1}^{\infty} \left(a_n \cos \left( \frac {2n\pi}{T}x \right) + b_n \sin \left( \frac {2n\pi}{T}x \right) \right)
(1.1)

O współczynnikach określonych następującymi wzorami:

a_n = \frac{2}{T} \int\limits_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} f(x) \cos \left( \frac {2n\pi}{T}x \right) dx,\ \ \ \ n = 0, 1, 2,\dots
(1.2)
b_n = \frac{2}{T} \int\limits_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} f(x) \sin \left( \frac {2n\pi}{T}x \right) dx,\ \ \ \ n = 1, 2, 3,\dots
(1.3)

Powyższe wzory po raz pierwszy ujrzały światło dzienne w pracach Jeana-Baptiste Josepha Fouriera. Niemniej jednak po raz pierwszy wyprowadził je Leonhard Euler (prac na ten temat nie opublikował). Z tego względu wzory te noszą nazwę wzorów Eulera-Fouriera.

W fizyce i technice często spotykane jest następujące oznaczenie (T oznacza okres funkcji) \omega = \frac{2 \pi}{T}. \omega nosi nazwę pulsacji lub częstości kołowej. Stosując takie oznaczenie powyższe wzory przyjmują postać:

S(x) = \frac {a_0}{2} + \sum_{n = 1}^\infty \left(a_n \cos \left( n \omega x \right) + b_n \sin \left( n \omega x \right) \right)
(1.1a)
a_n = \frac{2}{T} \int\limits_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} f(x) \cos \left( n \omega x \right) dx,\ \ \ \ n = 0, 1, 2,\dots
(1.2a)
b_n = \frac{2}{T} \int\limits_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} f(x) \sin \left( n \omega x \right) dx,\ \ \ \ n = 1, 2, 3,\dots
(1.3a)
Aproksymacja fali prostokątnej szeregiem Fouriera
Aproksymacja fali piłokształtnej szeregiem Fouriera
Aproksymacja fali trójkątnej szeregiem Fouriera

Własności[edytuj | edytuj kod]

Poniższe twierdzenia dot. rozwijalności funkcji w szereg Fouriera. W dalszym ciągu zakładamy, że okres funkcji wynosi 2T.

Lemat I (całki pomocnicze)[edytuj | edytuj kod]

n jest liczbą całkowitą

\int\limits_{-T}^{T} \cos n \omega x dx = \left \{ {0 ~~~ gdy ~~ n \not = 0 \atop 2T ~~~ gdy ~~ n=0 } \right.

\int\limits_{-T}^{T} \sin n \omega x dx = 0

m, n są liczbami naturalnymi

\int\limits_{-T}^{T} \cos n \omega x \cos m \omega x dx = \left \{ {0 ~~~ gdy ~~ n \not = m \atop T ~~~ gdy ~~ n = m } \right.

\int\limits_{-T}^{T} \sin n \omega x \sin m \omega x dx = \left \{ {0 ~~~ gdy ~~ n \not = m \atop T ~~~ gdy ~~ n = m } \right.

\int\limits_{-T}^{T} \sin n \omega x \cos m \omega x dx = 0

Lemat II[edytuj | edytuj kod]

\frac{1}{2} + \sum_{n = 1}^{N} \cos n \alpha =  \frac{\sin (N+\frac{1}{2}) \alpha}{2 \sin \frac{1}{2} \alpha}

Dowód[edytuj | edytuj kod]


\frac{1}{2} + \sum_{n = 1}^{N} \cos n \alpha = \Re \left(-\frac{1}{2} + \sum_{n = 0}^{N} e^{ i n \alpha} \right) = \Re \left( -\frac{1}{2} + \frac{1-e^{i(N+1) \alpha}}{1 - e^{i \alpha}} \right)


= -\frac{1}{2} + \frac{1}{|1-e^{i \alpha}|^2} \Re ((1-e^{i(N+1) \alpha})(1-e^{-i \alpha}))


= -\frac{1}{2} + \frac{1}{(1- \cos \alpha) ^2 + \sin^2 \alpha} \Re (1-e^{-i \alpha} -e^{i(N+1) \alpha} + e^{iN \alpha})

więc mamy (biorąc cześć rzeczywistą i stosując podstawowe wzory trygonometryczne):


\frac{1}{2} + \sum_{n = 1}^{N} \cos n \alpha = -\frac{1}{2}+\frac{1-\cos \alpha - \cos (N+1) \alpha + \cos N \alpha}{2(1- \cos \alpha)}


= \frac{\cos N \alpha - \cos (N+1) \alpha}{2(1- \cos \alpha)} = \frac{2 \sin (N+\frac{1}{2}) \alpha \sin \frac{1}{2} \alpha}{4 \sin^2 \frac{1}{2} \alpha} =
 \frac{\sin (N+\frac{1}{2}) \alpha}{2 \sin \frac{1}{2} \alpha}

q. e. d.

Lemat III[edytuj | edytuj kod]

Information icon.svg Osobny artykuł: Lemat Riemanna.

Jeżeli f jest funkcją ciągłą w przedziale [a, b] z wyjątkiem co najwyżej skończonej ilości punktów i bezwzględnie całkowalną w tym przedziale to

\lim_{n \to \infty} \int\limits_a^b f(x) \sin n x\,\mbox{d}x = 0.

Twierdzenie (Eulera–Fouriera)[edytuj | edytuj kod]

Jeżeli szereg o postaci (1.1) jest jednostajnie zbieżny do funkcji f to współczynniki ak, bk wyrażają się wzorami (1.2), (1.3).

Dowód[edytuj | edytuj kod]

f(x) = \frac {a_0}{2} + \sum_{k = 1}^\infty \left(a_k \cos k \omega x + b_k \sin k \omega x \right).

Mnożąc powyższą równość przez \cos n \omega x, całkując szereg w granicach od -T do T (uwzględniając zbieżność jednostajną szeregu stosujemy twierdzenie o całkowaniu szeregu wyraz po wyrazie) otrzymujemy:

\int\limits_{-T}^{T} f(x) \cos n \omega x \mbox{d}x = \frac {a_0}{2} \int\limits_{-T}^{T} \cos n \omega x \mbox{d}x + \sum_{k = 1}^\infty \left(a_k \int\limits_{-T}^{T} \cos n \omega x \cos k \omega x \mbox{d}x + b_k \int\limits_{-T}^{T} \cos n \omega x \sin k \omega x \mbox{d}x \right)

Na mocy lematu I zerują się wszystkie całki po prawej stronie takie że nk (gdy n = 0 zeruje się cała suma uogólniona). W związku z tym mamy:

\int\limits_{-T}^{T} f(x) \cos n \omega x \mbox{d}x =  a_n T

Stąd otrzymujemy wzór (1.2).

Dowód wzoru (1.3) przebiega analogicznie (tym razem mnożymy przez \sin n \omega x)

Twierdzenie (o rozwijalności funkcji w szereg Fouriera)[edytuj | edytuj kod]

Jeżeli funkcja f(x) jest różniczkowalna w punkcie x_0 to jej szereg Fouriera jest zbieżny do wartości funkcji w tym punkcie. Innymi słowy: w punktach różniczkowalności funkcję da się rozwinąć w szereg Fouriera.

Dowód[edytuj | edytuj kod]

Niech x_0 będzie punktem, w którym funkcja f(x) jest różniczkowalna; mamy:


a_n \cos n \omega x_0 + b_n \sin n \omega x_0 = \frac{1}{T} \int\limits_{-T}^{T} f(x) \cos n \omega x dx \cos n \omega x_0

+ \frac{1}{T} \int\limits_{-T}^{T} f(x) \sin n \omega x dx \sin n \omega x_0 =


=\frac{1}{T} \int\limits_{-T}^{T} f(x)(\cos n \omega x \cos n \omega x_0 + \sin n \omega x \sin n \omega x_0)dx =

\frac{1}{T} \int\limits_{-T}^{T} f(x) \cos n \omega (x-x_0)dx

Suma cząstkowa szeregu Fouriera przedstawia się w następujący sposób: S_N = \frac{1}{2T} \int\limits_{-T}^{T} f(x)dx + \sum_{n=1}^N \frac{1}{T} \int\limits_{-T}^{T} f(x) \cos n \omega (x-x_0)dx =


= \frac{1}{T} \int\limits_{-T}^{T} f(x) \left( \frac{1}{2} + \sum_{n=1}^N \cos n \omega (x-x_0) \right) dx

Stosując do tego wyrażenia lemat II otrzymujemy następujący wzór: S_N = \frac{1}{T} \int\limits_{-T}^{T} f(x) \frac{\sin \omega (N+\frac{1}{2}) (x-x_0)}{2 \sin \omega \frac{1}{2} (x-x_0)}dx

Funkcja podcałkowa w powyższym wzorze jest funkcją o okresie 2T, możemy więc dokonać przesunięcia w dziedzinie i otrzymujemy:

S_N = \frac{1}{T} \int\limits_{-T}^{T} f(x+x_0) \frac{\sin \omega (N+\frac{1}{2}) x}{2 \sin \omega \frac{1}{2} x}dx

Funkcja tożsamościowo równa 1 na całym zbiorze liczb rzeczywistych jest rozwijalna w szereg Fouriera w każdym punkcie, kładąc f(x) = 1 mamy: 
1 = \frac{1}{T} \int\limits_{-T}^{T} \frac{\sin \omega (N+\frac{1}{2}) x}{2 \sin \omega \frac{1}{2} x}dx

Mnożąc powyższą równość przez f(x_0) i odejmując obustronnie od równania przedstawiającego sumę cząstkową szeregu otrzymujemy:

(*) S_N - f(x_0) = \frac{1}{T} \int\limits_{-T}^{T} (f(x+x_0) - f(x_0)) \frac{\sin \omega (N+\frac{1}{2}) x}{2 \sin \omega \frac{1}{2} x}dx

Rozważmy następującą granicę: 
\lim_{x \to 0} \frac{f(x+x_0) - f(x_0)}{2 \sin \omega \frac{1}{2} x} = \lim_{x \to 0} \frac{f(x+x_0) - f(x_0)}{x} \frac{x}{2 \sin \omega \frac{1}{2} x} = \frac{f'(x_0)}{\omega}

przy obliczaniu której korzystamy z różniczkowalności funkcji f(x) w punkcie x_0

Możemy określić następującą funkcję: \phi (x) = \left \{ {\frac{f(x+x_0) - f(x_0)}{2 \sin \omega \frac{1}{2} x} ~~~ gdy ~~ x \not = 0 \atop \frac{f'(x_0)}{\omega} ~~~ gdy ~~ x=0 } \right.

Mając na uwadze fakt, iż zmiana skończonej ilości wartości funkcji podcałkowej nie wpływa na wartość całki wzór (*) możemy zapisać w postaci:

S_N - f(x_0) = \frac{1}{T} \int\limits_{-T}^{T} \phi (x) \sin \omega (N+\frac{1}{2}) xdx

Funkcja podcałkowa spełnia założenia lematu Riemanna, tak więc: 
\lim_{N \to \infty} (S_N - f(x_0)) =\lim_{N \to \infty} \frac{1}{T} \int\limits_{-T}^{T} \phi (x) \sin \omega (N+\frac{1}{2}) xdx = 0

czyli:

\lim_{N \to \infty} S_N = f(x_0)

q. e. d.

Przypisy

Linki zewnętrzne[edytuj | edytuj kod]