Okrąg jednostkowy

Ilustracja okręgu jednostkowego, Zmienna $t$ jest miarą kąta.

Okrąg jednostkowy – w matematyce okrąg o promieniu jednostkowym, tzn. równym 1. Często, szczególnie w trygonometrii, „okrąg jednostkowy” oznacza okrąg o promieniu 1 i środku w początku, tzn. punkcie $(0, 0)\,$, układu współrzędnych kartezjańskich płaszczyzny euklidesowej. Często oznacza się go symbolem $\mathrm S^1$; jego uogólnieniem na wyższe wymiary jest sfera jednostkowa.

Jeżeli $(x, y)\,$ jest punktem okręgu jednostkowego leżącym w pierwszej ćwiartce, to $x\,$ i $y\,$ są długościami przyprostokątnych trójkąta prostokątnego o przeciwprostokątnej długości 1. Z twierdzenia Pitagorasa $x\,$ oraz $y\,$ spełniają równanie

$x^2 + y^2 = 1\,$.

Ponieważ $x^2 = (-x)^2\,$ dla każdego $x\,$, a odbicie dowolnego punktu leżącego na okręgu jednostkowych względem osi rzędnych bądź odciętych nadal leży na tym okręgu, to powyższe równanie jest spełnione dla wszystkich punktów $(x, y)\,$ leżących na okręgu jednostkowym, a nie tylko tych z pierwszej ćwiartki.

Do zdefiniowania innych „okręgów jednostkowych”, np. okręgu Riemanna, można skorzystać z innych pojęć „odległości”, zob. artykuł dotyczący norm.

Okrąg jednostkowy można zadać wielorako. Korzystając z własności liczb zespolonych uzyskuje się charakteryzację:

• wykładniczą,

  $z(t) = e^{it}\,$,

• trygonometryczną:

  $z(t) = \cos(t) + i\sin(t)\,$.

Funkcje trygonometryczne

Wszystkie funkcje trygonometryczne kąta θ mogą być skonstruowane geometrycznie na okręgu jednostkowym o środku w O.

Na okręgu jednostkowym można zdefiniować funkcje trygonometryczne sinusa i cosinusa: jeżeli $(x, y)$ jest punktem okręgu jednostkowego, a promień o początku w $(0, 0)$ i końcu w $(x, y)$ tworzy kąt $t$ z dodatnią półosią $x$ (przy czym mierzy się go przeciwnie do ruchu wskazówek zegara zaczynając od osi), to

$\begin{cases} \cos(t) = x \\ \sin(t) = y \end{cases}$

Równanie $x^2 + y^2 = 1$ daje wtedy zależność

$\cos^2(t) + \sin^2(t) = 1\;$.

(Zapis $\cos^2(t) = (cos(t))^2$ jest zwyczajową formą zapisu potęg dla wszystkich funkcji trygonometrycznych.)

Okrąg jednostkowy daje intuicyjny wgląd w okresowość wspomnianych funkcji:

$\begin{cases} \cos(t) = \cos(2\pi k + t) \\ \sin(t) = \sin(2\pi k + t) \end{cases}$

dla dowolnej liczby całkowitej $k$.

Wyżej wymienione tożsamości można podsumować następująco: współrzędne $x, y$ punktu na okręgu jednostkowym nie ulegają zmianie przy zwiększeniu bądź zmniejszeniu kąta $t$ o dowolną liczbę obrotów (1 obrót = 2п radianów = 360°).

Definiowane z elementów trójkąta prostokątnego sinus, cosinus oraz inne funkcje trygonometryczne są określone tylko dla miar kątów większych od $0$ i mniejszych od $\tfrac{\pi}{2}$. Zdefiniowane za pomocą okręgu jednostkowego mają one swoje sensowne, intuicyjne uogólnienia dla dowolnej rzeczywistej miary kąta, co pokazano na rysunku obok.

Grupa okręgu

Liczby zespolone mogą być utożsamiane z punktami płaszczyzną euklidesową, tzn. liczbę $a + bi$ można utożsamiać z punktem $(a, b)$. Pod tym założeniem okrąg jednostkowy jest grupą ze względu na mnożenie nazywaną grupą okręgu.

Dynamika zespolona

Okrąg jednostkowy w dynamice zespolonej

Zbiór Julii dyskretnego nieliniowego układu dynamicznego z funkcją ewolucji

$f_0(x) = x^2\;$

jest okręgiem jednostkowym. Jest to najprostszy przypadek i z tego powodu jest on szeroko stosowany w badaniach nad układami dynamicznymi.

Zobacz też

• miara kąta
• kwadrat jednostkowy
• koło jednostkowe
• okrąg Riemanna
• tożsamości trygonometryczne

Linki zewnętrzne

• Animacja w technologii Flash dot. okręgu jednostkowego (ang.)