Wyznacznik

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacji, wyszukiwania
Niniejszy artykuł jest częścią cyklu macierze.
Macierz ikona.png


Niektóre typy macierzy
macierz diagonalna
macierz dodatnio określona
macierz elementarna
macierz hermitowska
macierz idempotentna
macierz jednostkowa
macierz klatkowa
macierz nieosobliwa
macierz nilpotentna
macierz ortogonalna
macierz osobliwa
macierz rzadka
macierz schodkowa
macierz skalarna
macierz symetryczna
macierz trójkątna
macierz unitarna
macierz wstęgowa
macierz zerowa


Operacje na macierzach
mnożenie przez skalar
dodawanie i odejmowanie
mnożenie macierzy
odwracanie macierzy
transpozycja macierzy
sprzężenie macierzy
operacje elementarne
macierz dopełnień algebraicznych
macierz dołączona
diagonalizacja
postać Jordana


Inne zagadnienia
wyznacznik macierzy
ślad macierzy
widmo macierzy
minor macierzy
rząd macierzy
wielomian charakterystyczny

edytuj ten szablon

Wyznacznik – w algebrze liniowej, funkcja przyporządkowująca każdej macierzy kwadratowej M, o współczynnikach z pierścienia przemiennego R (w szczególności, ciała liczb rzeczywistych czy zespolonych), pewien element tego pierścienia (oznaczany symbolem \det M), która spełnia następujące warunki:

  1. wartością tej funkcji na macierzy 1x1 [a] jest a,
  2. jeśli
    M=\begin{bmatrix}
a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1n}\\
a_{21} & a_{22} & \dots & a_{2n}\\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\
a_{n1} & a_{n2} & \dots & a_{nn}
\end{bmatrix}
    jest macierzą kwadratową stopnia n>1, to wartość tej funkcji dla macierzy M równa się \sum_{i=1}^n(-1)^{i+j}a_{ij}\det M_{i, j}, gdzie j jest dowolną liczbą naturalną z zakresu 1\leqslant j\leqslant n, a przez M_{i,j} oznaczamy macierz stopnia n-1, powstałą z macierzy M poprzez skreślenie i-tego wiersza i j-tej kolumny (por. minor).

Funkcja o powyższych własnościach wyznaczona jest jednoznacznie. Wyznacznikiem macierzy M nazywamy wartość \det M tej funkcji dla macierzy M.

Wyznacznik można również traktować jako funkcję, nie samej macierzy, a jej współczynników

a_{11}, \ldots, a_{1n},\ldots, a_{n1}, \ldots a_{nn}.

Jest on wówczas wielomianem n2 zmiennych o współczynnikach z R.

Zapis[edytuj | edytuj kod]

Wyznacznik macierzy kwadratowej M oznaczany jest czasami przez |M|. Ta notacja może jednak prowadzić do nieporozumień, ponieważ używa się jej do zapisu norm macierzy lub wartości bezwzględnej. Zapis z użyciem pionowych kresek jest jednak szeroko rozpowszechniony w matematyce.

Dla macierzy

M=\begin{bmatrix}
a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1n}\\
a_{21} & a_{22} & \dots & a_{2n}\\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\
a_{n1} & a_{n2} & \dots & a_{nn}
\end{bmatrix}

wprowadzamy oznaczenie

|M|=\left|\begin{array}{cccc}
a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1n}\\
a_{21} & a_{22} & \dots & a_{2n}\\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\
a_{n1} & a_{n2} & \dots & a_{nn}
\end{array}\right|.

Rozwinięcie Laplace'a[edytuj | edytuj kod]

Information icon.svg Osobny artykuł: Rozwinięcie Laplace'a.

Istnieje jeszcze jeden (równoważny) sposób wprowadzenia pojęcia wyznacznika (zob. definicja permutacyjna poniżej), jednak tak wprowadzona definicja (tzw. definicja rekurencyjna wyznacznika) ukazuje efektywną metodę obliczania wyznaczników macierzy kwadratowych wyższych stopni. W szczególności, prawdziwe jest następujące twierdzenie Laplace'a:

Jeżeli M jest macierzą taką jak wyżej oraz  i jest liczbą naturalną nie większą niż  n , to zachodzą równości
|M|=\sum_{l=1}^n(-1)^{i+l}a_{il}|M_{i,l}|. (rozwinięcie wyznacznika względem i-tego wiersza)

oraz

|M|=\sum_{l=1}^n(-1)^{i+l}a_{li}|M_{l,i}|. (rozwinięcie wyznacznika względem i-tej kolumny).

Definicja permutacyjna[edytuj | edytuj kod]

Jeżeli M jest macierzą taką, jak wyżej, to

\det M=\sum_{\sigma \in S_n} (-1)^{\rm{Inv}(\sigma)}~a_{1\sigma(1)}\cdot a_{2\sigma(2)}\cdot ... \cdot a_{n\sigma(n)},

gdzie S_n oznacza zbiór wszystkich permutacji zbioru \{1, 2, \cdots, n\}, zaś \rm{Inv}(\sigma) oznacza liczbę inwersji danej permutacji \sigma \in S_n.

Przykładowo składnik a_{13}a_{21}a_{34}a_{42} w wyznaczniku czwartego stopnia ma ujemny znak, gdyż permutacja indeksów

\tau=\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 3 & 1 & 4 & 2\end{pmatrix},

ma trzy inwersje, mianowicie: (3,1), (3,2) i (4,2), skąd \rm{Inv}(\tau)=3 oraz (-1)^3=-1.

Wyznacznik ogólny[edytuj | edytuj kod]

Wyznacznikiem ogólnym z parametrem p nazywamy:

\det_p M=\sum_{\sigma \in S_n} (p)^{\rm{Inv}(\sigma)}~a_{1\sigma(1)}\cdot a_{2\sigma(2)}\cdot ... \cdot a_{n\sigma(n)},

gdzie M, S_n, \rm{Inv}(\sigma) jak wyżej.

Przykładowo dla  p=-1 otrzymujemy wyznacznik, zaś dla  p=1 otrzymujemy permanent.

Definicja wyznacznika jako odwzorowania wieloliniowego[edytuj | edytuj kod]

Jeżeli macierz M_{n \times n}(\mathbb{K}) potraktujemy jako ciąg n kolumn (każda kolumna to element z przestrzeni liniowej \mathbb{K} ^n), to istnieje dokładnie jedno antysymetryczne odwzorowanie wieloliniowe det:M_{n \times n}(\mathbb{K})\rightarrow \mathbb{K} takie, że det(I)=1. Wartość odwzorowania det(A) nazywamy wyznacznikiem macierzy  A.

Własności[edytuj | edytuj kod]

  1. Transpozycja macierzy nie powoduje zmiany wartości jej wyznacznika.
  2. Zamiana miejscami dwóch dowolnych kolumn lub wierszy macierzy zachowuje wartość bezwzględną jej wyznacznika lecz zmienia jego znak.
  3. Wyznacznik macierzy, której wiersz jest kombinacją liniową innych wierszy tej macierzy (np. wiersz składa się tylko z zer lub jest wielokrotnością innego wiersza) ma wartość zero. To samo dotyczy kolumn.
  4. Pomnożenie dowolnej kolumny lub dowolnego wiersza przez stałą mnoży przez tę samą stałą wartość wyznacznika.
  5. Dodając lub odejmując od dowolnego wiersza/kolumny inny wiersz/kolumnę lub kombinacje liniowe innych wierszy/kolumn nie zmieniamy wartości wyznacznika.
  6. Wyznacznik iloczynu macierzy jest równy iloczynowi wyznaczników: \det(A \cdot B)=\det A \cdot \det B.
  7. Wyznacznik macierzy odwrotnej jest równy odwrotności wyznacznika: \det (A^{-1})=(\det A)^{-1}.
  8. Zachodzi \det(k \cdot A)=k^n \cdot \det A, gdzie k jest dowolną liczbą, n stopniem macierzy A.

Obliczanie wyznaczników[edytuj | edytuj kod]

Wyznacznik drugiego stopnia obliczamy według łatwego wzoru, wynikającego wprost z definicji permutacyjnej wyznacznika:

\det A=\begin{vmatrix}
a_{11} & a_{12}\\
a_{21} & a_{22}
\end{vmatrix}=a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21}

Wyznacznik trzeciego stopnia obliczamy według tzw. reguły Sarrusa:

\det A=\begin{vmatrix}
a_{11} & a_{12} & a_{13}\\
a_{21} & a_{22} & a_{23}\\
a_{31} & a_{32} & a_{33}
\end{vmatrix}=a_{11}a_{22}a_{33}+a_{21}a_{32}a_{13}+a_{31}a_{12}a_{23}-a_{21}a_{12}a_{33}-a_{11}a_{32}a_{23}-a_{31}a_{22}a_{13}

W przypadku macierzy wyższych stopni, a także niejednokrotnie w przypadku macierzy stopnia trzeciego, wygodniej jest stosować twierdzenie Laplace'a. Przykład obliczenia wyznacznika czwartego stopnia znajduje się we wspomnianym artykule.

Wyznacznik macierzy można też obliczyć stosując metodę eliminacji Gaussa. Wyznacznik macierzy trójkątnej jest równy iloczynowi wyrazów na jej przekątnej, jest więc łatwy do obliczenia. Każdą macierz można sprowadzić do macierzy trójkątnej za pomocą operacji elementarnych, pamiętając że operacje te mają następujący wpływ na wyznacznik:

  1. Dodanie wielokrotności jednego wiersza (kolumny, odpowiednio) do innego wiersza (innej kolumny, odpowiednio) nie zmienia wartości wyznacznika;
  2. Pomnożenie wiersza (kolumny) przez liczbę powoduje pomnożenie wyznacznika przez tę liczbę;
  3. Zamiana miejscami dwóch wierszy, tak jak i zamiana miejscami dwóch kolumn, zmienia znak wyznacznika.

Do obliczenia wyznacznika można wykorzystać również metodę LU.

Zastosowanie wyznaczników[edytuj | edytuj kod]

Wyznaczniki pojawiają się w wielu miejscach w matematyce, np. przy:

i w wielu, wielu innych miejscach.

Dowody niektórych własności[edytuj | edytuj kod]

Przyjmijmy następujące własności wyznacznika:

  • pomnożenie kolumny przez x mnoży wyznacznik macierzy przez x
  • dodanie jednej kolumny do drugiej nie zmienia wartości wyznacznika

Ponieważ bardzo wiele operacji można zbudować z mnożeń przez stałą i dodawań kolumn (wierszy), możemy z tych dwóch właściwości wyprowadzić wiele innych własności.

W poniższych przykładach będziemy budować kolejno macierze M^1, M^2, M^3 itd., a przez a^i, b^i, c^i będziemy oznaczać pewne kolumny i-tej macierzy. Wszystkie kolumny o których nic nie powiedziano są takie same jak w poprzedniej macierzy.

Odjęcie jednej kolumny od drugiej nie zmienia wartości wyznacznika:

  1. Zamieńmy znak w kolumnie a:
    a^2 = -a^1.
    b^2 = b^1
    \det M^2 = - \det M^1
  2. Dodajmy kolumnę a do kolumny b:
    a^3 = a^2 = -a^1.
    b^3 = b^2+a^2 = b^1 - a^1
    \det M^3 = \det M^2 = - \det M^1
  3. Zamieńmy ponownie znak w kolumnie a:
    a^4 = -a^3 = a^1.
    b^4 = b^3 = b^1 - a^1
    \det M^4 = - \det M^3 = \det M^1

Dodanie dowolnej wielokrotności jednej kolumny do drugiej nie zmienia wartości wyznacznika:

  1. Pomnóżmy kolumnę a przez x:
    a^2 = x a^1.
    b^2 = a^1
    \det M^2 = x \det M^1
  2. Dodajmy kolumnę a do kolumny b:
    a^3 = a^2 = x a^1.
    b^3 = b^2 + a^2 = b^1 + x a^1
    \det M^3 = \det M^2 = x \det M^1
  3. Pomnóżmy kolumnę a przez \frac 1 x:
    a^4 = \frac 1 x a^3 = \frac 1 x x a^1 = a^1.
    b^4 = b^3 = b^1 + x a^1
    \det M^4 = \frac 1 x \det M^3 = \frac 1 x x \det M^1 = \det M^1

W powyższym przykładzie założyliśmy, że istnieje odwrotność x, a zatem x jest różne od 0. Jeśli x jest równe 0, dodanie 0 razy kolumna to kolumna złożona z samych zer, a dodanie kolumny zer do innej kolumny nie zmienia macierzy, więc wyznacznik pozostaje ten sam.

Zamiana dwóch kolumn miejscami zmienia znak wyznacznika:

  1. Dodajmy kolumnę a do kolumny b:
    a^2 = a^1.
    b^2 = a^1 + b^1
    \det M^2 = \det M^1
  2. Zamieńmy znak w kolumnie a:
    a^3 = -a^2 = -a^1.
    b^3 = b^2 = a^1 + b^1
    \det M^3 = - \det M^2 = - \det M^1
  3. Dodajmy kolumnę b do kolumny a:
    a^4 = a^3 + b^3 = -a^1 + a^1 + b^1 = b^1.
    b^4 = b^3 = a^1 + b^1
    \det M^4 = \det M^3 = - \det M^1
  4. Zamieńmy znak w kolumnie b:
    a^5 = a^4 = b^1.
    b^5 = -b^4 = -a^1 - b^1
    \det M^5 = - \det M^4 = \det M^1
  5. Dodajmy kolumnę a do kolumny b:
    a^6 = a^5 = b^1.
    b^6 = a^5 + b^5 = b^1 - a^1 - b^1 = - a^1
    \det M^6 = \det M^5 = \det M^1
  6. Zamieńmy znak w kolumnie b:
    a^7 = a^6 = b^1.
    b^7 = -b^6 = a^1
    \det M^7 = - \det M^6 = - \det M^1

Po tej serii operacji (którą można uprościć korzystając z udowodnionej wyżej własności, że odejmowanie kolumn nie zmienia wyznacznika), wartości w kolumnach a i b zamieniły się miejscami, a wyznacznik zmienił znak.

Analogicznie wyprowadza się te zależności dla wierszy.

Zobacz też[edytuj | edytuj kod]

Linki zewnętrzne[edytuj | edytuj kod]

WiktionaryPl nodesc.svg
Zobacz hasło wyznacznik w Wikisłowniku