Kwadrat magiczny (matematyka)

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj
Przykład kwadratu magicznego o sumie 15

Kwadrat magiczny – tablica składająca się z n wierszy i n kolumn (n>2), w którą wpisano n2 różnych nie powtarzających się dodatnich liczb naturalnych w ten sposób, że suma liczb w każdym wierszu, w każdej kolumnie i w każdej przekątnej jest taka sama (tzw. suma magiczna). Kwadrat, w którym suma liczb w każdym wierszu i każdej kolumnie jest taka sama, ale sumy liczb w przekątnych są różne, nazywa się półmagicznym.

Kwadraty magiczne nie mają żadnego zastosowania naukowego, ich układanie jest rodzajem rozrywki matematycznej. Kwadratów magicznych jest nieskończenie wiele.

Najpopularniejsze są kwadraty zbudowane z kolejnych wyrazów ciągu arytmetycznego: 1, 2, ... n2. Suma magiczna takiego kwadratu wynosi S=\tfrac{n(n^2+1)}{2}.

Sposób zrobienia kwadratu 3x3[edytuj | edytuj kod]

Na rysunku poniżej pokazano, jak zrobić kwadrat magiczny 3x3. Wystarczy wybrać jakiekolwiek liczby naturalne dodatnie dla a, b i c, takie, że b/c<>1/2,1,2 oraz a>b+c. Na przykład, jeśli a=5, b=3, natomiast c=1, otrzymamy kwadrat jak na rysunku poniżej.

a-b a+b-c a+c
a+b+c a a-b-c
a-c a-b+c a+b

Kwadrat magiczny 5x5[edytuj | edytuj kod]

23 6 19 2 15
4 12 25 8 16
10 18 1 14 22
11 24 7 20 3
17 5 13 21 9

Na pokazanym wyżej kwadracie wpisano liczby od 1 do 25 i ten kwadrat ma następujące własności:

  • każdy rząd daje w sumie 65
  • każda kolumna daje w sumie 65
  • każda przekątna daje w sumie 65
  • każdy 5-liczbowy plus "+" daje w sumie 65
  • każdy 5-liczbowy krzyżyk "x" daje w sumie 65
  • duży plus "+" (cztery środkowe liczby na bokach i liczba środkowa kwadratu) daje w sumie 65
  • duży krzyżyk "x" (cztery liczby na rogach i liczba środkowa kwadratu) daje w sumie 65
  • gdyby np. przesunąć lewą kolumnę do prawego boku, powstałoby więcej krzyżyków i plusów oraz nowe przekątne, które także dałyby w sumie 65.

Jak zrobić kwadrat 5x5[edytuj | edytuj kod]

Najprostszą metodą na zrobienie takiego kwadratu jest wpisanie najmniejszej z liczb na środku. W przypadku sumy liczb równej 0 jest to -12. Następnie należy wpisać liczbę o 1 większą w pole znajdujące się o 2 w górę i 1 w prawo (tak jak skoczek porusza się w szachach). W przypadku gdy jest to pole poza kwadratem należy: liczyć od dołu (jeśli za wysoko) lub od lewej (jeśli za bardzo na prawo). UWAGA: przy wpisaniu piątej liczby zamiast poruszyć się "metodą skoczka" powinno się ruszyć o 1 pole w dół! Należy kontynuować zgodnie z "metodą skoczka" do wpisania dziesiątej liczby (znowu ruch w dół), itd. W przypadku sumy liczb równej 5 najmniejszą liczbą jest -11 i dalej powinno się poruszać zgodnie z instrukcjami opisanymi powyżej. W przypadku sumy równej 10 najmniejszą liczbą jest -10 i dalej powinno się poruszać zgodnie z instrukcjami opisanymi powyżej, itd. Pozostaje jednak pytanie: co zrobić jeśli suma ma być niepodzielna przez 5? Odpowiedź jest prosta. Należy znaleźć największą liczbę podzielną przez 5 mniejszą od danej liczby i wykonać polecenia do tej liczby. Dalej powinno się odjąć od wybranej liczby liczbę, do której wykonywało się polecenia. Następnie trzeba znaleźć pięć największych liczb i powiększyć je o otrzymaną różnicę.

Własności[edytuj | edytuj kod]

Niektóre własności kwadratów magicznych (n, jak wyżej, oznacza liczbę kolumn i wierszy kwadratu):

  • Jeśli do każdej liczby w kwadracie dodamy tę samą wartość k, to kwadrat pozostanie magicznym, a jego suma magiczna wzrośnie o n·k.
  • Jeśli każdą liczbę w kwadracie pomnożymy przez tę samą wartość k, to kwadrat pozostanie magicznym, a jego suma wzrośnie k-krotnie.
  • Jeśli weźmiemy dwa kwadraty magiczne o tym samym rozmiarze i sumach magicznych S1 i S2, i dodamy liczby na odpowiadających sobie pozycjach, to otrzymany w wyniku tego dodawania nowy kwadrat też będzie magiczny, a jego suma magiczna wyniesie S1+S2 (jednak nie ma gwarancji, że w tym nowym kwadracie wszystkie liczby będą różne).

Dla kwadratów trzeciego stopnia prawdziwe są też następujące własności: Sumę magiczną kwadratu można szybko wyznaczyć, bez potrzeby sumowania liczb w kolumnach, wierszach bądź przekątnych, za pomocą wzoru S=\tfrac{n(X+Y)}{2}, gdzie:

  • X - pierwsza liczba kwadratu magicznego (w lewym górnym rogu),
  • Y - ostatnia liczba kwadratu (w prawym dolnym rogu),
  • n - liczba wierszy (czyli także kolumn) kwadratu.

Wzór ten można zastosować nie tylko do liczb znajdujących się na tych rogach, a do dowolnych dwóch liczb ułożonych symetrycznie względem środka kwadratu. Dodatkowo liczba znajdująca się na środkowym polu kwadratu jest równa 1/3 sumy magicznej.

Kwadraty magiczne znali już starożytni Chińczycy i Hindusi, wierzyli w ich magiczną moc i dlatego umieszczali je na amuletach i talizmanach. Chiński kwadrat magiczny, luoshu, miał zostać wynaleziony około 2800 p.n.e. przez Fuxi i dał podwaliny sztuce feng shui. Chińscy architekci radzili stosować magiczny kwadrat podczas projektowania domów, pałaców i miast. Najbardziej znaną budowlą, gdzie podczas projektowania ściśle zastosowano zasadę idealnego kwadratu jest Cesarski Pałac w Pekinie.

Przykłady[edytuj | edytuj kod]

Najsłynniejszym kwadratem magicznym jest prawdopodobnie ten, który umieścił Albrecht Dürer na swoim miedziorycie Melancholia I. Zapewne nieprzypadkowo w dwóch wewnętrznych kratkach ostatniego wiersza tego kwadratu stoją obok siebie liczby 15 i 14, składające się na datę powstania grafiki – rok 1514.

Miedzioryt Melancholia

\begin{bmatrix}
16 & 3 & 2 & 13 \\
5 & 10 & 11 & 8 \\
9 & 6 & 7 & 12 \\
4 & 15 & 14 & 1 \\
\end{bmatrix}
Kwadrat z Melancholii Dürera nad skrzydłem anioła
n = 4, S = 34 (16+1=17; 10+7=17; 13+4=17; 6+11=17; 15+2=17; 14+3=17; 12+5=17; 8+9=17)

Inne przykłady:


\begin{bmatrix}
8 & 1 & 6 \\
3 & 5 & 7 \\
4 & 9 & 2 \\
\end{bmatrix}

\begin{bmatrix}
1 & 35 & 34 & 4 \\
32 & 6 & 7 & 29 \\
8 & 30 & 31 & 5 \\
33 & 3 & 2 & 36 \\
\end{bmatrix}

\begin{bmatrix}
37 & 48 & 59 & 70 & 81 & 2 & 13 & 24 & 35 \\
36 & 38 & 49 & 60 & 71 & 73 & 3 & 14 & 25 \\  
26 & 28 & 39 & 50 & 61 & 72 & 74 & 4 & 15 \\   
16 & 27 & 29 & 40 & 51 & 62 & 64 & 75 & 5 \\  
6 & 17 & 19 & 30 & 41 & 52 & 63 & 65 & 76 \\   
77 & 7 & 18 & 20 & 31 & 42 & 53 & 55 & 66 \\ 
67 & 78 & 8 & 10 & 21 & 32 & 43 & 54 & 56 \\
57 & 68 & 79 & 9 & 11 & 22 & 33 & 44 & 46 \\
47 & 58 & 69 & 80 & 1 & 12 & 23 & 34 & 45
\end{bmatrix}
n = 3, S = 15 n = 4, S = 74 n = 9, S = 369

Zobacz też[edytuj | edytuj kod]