Kwadrat magiczny (matematyka)

Przykład kwadratu magicznego o sumie 15

Kwadrat magiczny – tablica składająca się z n wierszy i n kolumn (n>2), w którą wpisano n² różnych dodatnich liczb naturalnych w ten sposób, że suma liczb w każdym wierszu, w każdej kolumnie i w każdej przekątnej jest taka sama (tzw. suma magiczna). Kwadrat, w którym suma liczb w każdym wierszu i każdej kolumnie jest taka sama, ale sumy liczb w przekątnych są różne, nazywa się półmagicznym.

Kwadraty magiczne nie mają żadnego zastosowania naukowego, ich układanie jest rodzajem rozrywki matematycznej. Kwadratów magicznych jest nieskończenie wiele.

Najpopularniejsze są kwadraty zbudowane z kolejnych wyrazów ciągu arytmetycznego: 1, 2, ... n². Suma magiczna takiego kwadratu wynosi $S=\tfrac{n(n^2+1)}{2}$.

Własności

Niektóre własności kwadratów magicznych (n, jak wyżej, oznacza liczbę kolumn i wierszy kwadratu):

• Jeśli do każdej liczby w kwadracie dodamy tę samą wartość k, to kwadrat pozostanie magicznym, a jego suma magiczna wzrośnie o n·k.
• Jeśli każdą liczbę w kwadracie pomnożymy przez tę samą wartość k, to kwadrat pozostanie magicznym, a jego suma wzrośnie k-krotnie.
• Jeśli weźmiemy dwa kwadraty magiczne o tym samym rozmiarze i sumach magicznych S₁ i S₂, i dodamy liczby na odpowiadających sobie pozycjach, to otrzymany w wyniku tego dodawania nowy kwadrat też będzie magiczny, a jego suma magiczna wyniesie S₁+S₂ (jednak nie ma gwarancji, że w tym nowym kwadracie wszystkie liczby będą różne).

Dla kwadratów trzeciego stopnia prawdziwe są też następujące własności: Sumę magiczną kwadratu można szybko wyznaczyć, bez potrzeby sumowania liczb w kolumnach, wierszach bądź przekątnych, za pomocą wzoru $S=\tfrac{n(X+Y)}{2},$ gdzie:

• X - pierwsza liczba kwadratu magicznego (w lewym górnym rogu),
• Y - ostatnia liczba kwadratu (w prawym dolnym rogu),
• n - liczba wierszy (czyli także kolumn) kwadratu.

Wzór ten można zastosować nie tylko do liczb znajdujących się na tych rogach, a do dowolnych dwóch liczb ułożonych symetrycznie względem środka kwadratu. Dodatkowo liczba znajdująca się na środkowym polu kwadratu jest równa 1/3 sumy magicznej.

Kwadraty magiczne znali już starożytni Chińczycy i Hindusi, wierzyli w ich magiczną moc i dlatego umieszczali je na amuletach i talizmanach. Chiński kwadrat magiczny, luoshu, miał zostać wynaleziony około 2800 p.n.e. przez Fuxi i dał podwaliny sztuce feng shui. Chińscy architekci radzili stosować magiczny kwadrat podczas projektowania domów, pałaców i miast. Najbardziej znaną budowlą, gdzie podczas projektowania ściśle zastosowano zasadę idealnego kwadratu jest Cesarski Pałac w Pekinie.

Przykłady

Najsłynniejszym kwadratem magicznym jest prawdopodobnie ten, który umieścił Albrecht Dürer na swoim miedziorycie Melancholia I. Zapewne nieprzypadkowo w dwóch wewnętrznych kratkach ostatniego wiersza tego kwadratu stoją obok siebie liczby 15 i 14, składające się na datę powstania grafiki – rok 1514.

Miedzioryt Melancholia

$\begin{bmatrix} 16 & 3 & 2 & 13 \\ 5 & 10 & 11 & 8 \\ 9 & 6 & 7 & 12 \\ 4 & 15 & 14 & 1 \\ \end{bmatrix}$ Kwadrat z Melancholii Dürera nad skrzydłem anioła n = 4, S = 34 (16+1=17; 10+7=17; 13+4=17; 6+11=17; 15+2=17; 14+3=17; 12+5=17; 8+9=17)

Inne przykłady:

$\begin{bmatrix} 8 & 1 & 6 \\ 3 & 5 & 7 \\ 4 & 9 & 2 \\ \end{bmatrix}$	$\begin{bmatrix} 1 & 35 & 34 & 4 \\ 32 & 6 & 7 & 29 \\ 8 & 30 & 31 & 5 \\ 33 & 3 & 2 & 36 \\ \end{bmatrix}$	$\begin{bmatrix} 37 & 48 & 59 & 70 & 81 & 2 & 13 & 24 & 35 \\ 36 & 38 & 49 & 60 & 71 & 73 & 3 & 14 & 25 \\ 26 & 28 & 39 & 50 & 61 & 72 & 74 & 4 & 15 \\ 16 & 27 & 29 & 40 & 51 & 62 & 64 & 75 & 5 \\ 6 & 17 & 19 & 30 & 41 & 52 & 63 & 65 & 76 \\ 77 & 7 & 18 & 20 & 31 & 42 & 53 & 55 & 66 \\ 67 & 78 & 8 & 10 & 21 & 32 & 43 & 54 & 56 \\ 57 & 68 & 79 & 9 & 11 & 22 & 33 & 44 & 46 \\ 47 & 58 & 69 & 80 & 1 & 12 & 23 & 34 & 45 \end{bmatrix}$
n = 3, S = 15	n = 4, S = 74	n = 9, S = 369

Zobacz też

• dodekafonia
• kwadrat magiczny w krzyżówkach
• kwadrat łaciński
• kwadrat grecko-łaciński