Macierzowa reprezentacja tensorów – forma reprezentacji tensorów z wykorzystaniem macierzy. Podstawowa zasada macierzowej reprezentacji tensorów brzmi: każdy indeks górny tensora musi być związany z jakąś kolumną, każdy indeks dolny musi być związany z jakimś wierszem.
Tensor I rzędu, czyli wektor standardowo jest wyrażony z wykorzystaniem współrzędnych kowariantnych (jako wektor wierszowy, z dolnymi indeksami)
lub kontrawariantnych (jako wektor kolumnowy, z górnymi indeksem)
Dla ortogonalnych układów współrzędnych zachodzi równość współrzędnych ko- i kontrawairantnych, tj. i w związku z tym w takich układach zwykle stosuje się tylko dolne indeksy.
Ponieważ w układzie ortogonalnym mamy równość współrzędnych ko- i kontrawariantnych, zatem tensor II rzędu zapisujemy, korzystając tylko z dolnych indeksów, a jego postać macierzowa może być następująca
Jeżeli układ współrzędnych nie jest ortogonalny, to nie można zastosować formy macierzowej dla układów ortogonalnych, ponieważ taka forma zapisu tensora „gubi” informację dotyczącą wariancji – co obrazuje poniższy przykład[1]:
Weźmy tensor metryczny (występujący w teorii względności) i wykonajmy iloczyn wewnętrzny z wektorem kontrawariantny Z własności tensora metrycznego wynika, że powinniśmy otrzymać wektor wierszowy (kowariantny – czyli z indeksem dolnym ). Korzystając z notacji sumacyjnej i definicji iloczynu wewnętrznego tensorów, w zapisie wskaźnikowym mamy
zatem po prawej stronie równości dostajemy oczekiwany wektor kowariantny (wierszowy, czyli z dolnym indeksem). Natomiast zobaczmy, co się stanie, gdy użyjemy zapisu macierzowego używanego w układach ortogonalnych
Dostaliśmy wektor kolumnowy jako rezultat, a powinien wyjść wierszowy. Zatem powyższy zapis macierzowy wraz z działaniem mnożenia macierzy nie odwzorował prawidłowo działania iloczynu wewnętrznego tensorów, gdyż „zagubił” informacje o wariancji wektora wynikowego. Zatem taka forma macierzowa tensora nie jest prawidłowa.
W literaturze często nie uwzględnia się wyżej opisanego problemu i stosuje dla układów nieortogonalnych błędną reprezentację tensora II rzędu w formie macierzy. Niemniej jednak w nieortogonalnych układach można przedstawić ów tensor prawidłowo, używając notacji macierzowej w taki sposób, aby mnożenie macierzy z wektorem prawidłowo odwzorowywało iloczyn wewnętrzny tensorów. Mianowicie:
- tensor z dwoma indeksami kowariantnymi (dolnymi) zapiszmy jako jednowierszową macierz której elementami są wektory wierszowe
- nie należy mylić takiego indeksowania ze standardowym indeksowaniem macierzowym, bo choć mamy tutaj dwa indeksy dolne, to jednak lewy dolny indeks nie dotyczy numeru wiersza (gdyż macierz jest jednowierszowa).
Detale
|
- Iloczyn wewnętrzny zwracający wektor kowariantny (wierszowy) zgadza się z wynikiem mnożenia macierzowego dla tak przyjętej postaci tensora (czyli wektor wierszowy którego elementem są wektory wierszowe)
|
- tensor mieszany zapiszmy jako macierz, w której wiersze odpowiadają indeksowi kowariantnemu (dolnemu), a kolumny odpowiadają indeksowi kontrawariantemu (górnemu)
- nie należy tego indeksowania mylić z konwencjonalnym indeksowaniem macierzy, w którym lewy dolny indeks oznacza wiersz, a prawy dolny kolumnę – gdyż tutaj dolny oznacza kolumnę, górny oznacza wiersz, a prawy dolny w ogóle nie istnieje.
Detale
|
Tensor mieszany można przedstawić również na inne sposoby
- wektor kolumnowy którego elementy to wektory wierszowe
- wektor wierszowy którego elementy to wektory kolumnowe
Jednak zwykle nie są one używane, gdyż zawierają nadmiarową informację (dotyczącej wierszowej/kolumnowej struktury elementów)
|
- tensor z dwoma indeksami kontrawariantnymi (górnymi) zapiszmy jako jednokolumnową macierz, której elementami są wektory kolumnowe
Detale
|
- Iloczyn wewnętrzny zwracający wektor kontrawariantny (kolumnowy) zgadza się z wynikiem mnożenia macierzowego (zauważmy, że aby je wykonać, musimy mnożyć przez wektor wierszowy z lewej strony)
|
W podobny sposób można reprezentować tensory wyższych rzędów. Zwróćmy też uwagę, że iloczyn wewnętrzny tensorów zawiera w sobie operację kontrakcji, która zezwala na sumowanie tylko po indeksach o przeciwnej wariancji (co współgra z działaniem mnożenia macierzy, tj. macierz może być wymnożona tylko lewostronnie przez wektor wierszowy, a tylko prawostronnie przez wektor kolumnowy).
Dla wspomnianego wcześniej tensora metrycznego i zastosowaniu powyższej notacji dostajemy
jak widać teraz dostaliśmy oczekiwany wektor wierszowy.
W ten sposób możemy zapisać tensory wyższych rzędów, zachowując informację o wariancji ich indeksów, np.
- dla symbol Christoffela drugiego rodzaju postacią będzie macierz której elementami są wektory wierszowe
- dla symbolu Leviego-Civity postacią będzie wektor wierszowy, którego elementy to wektory wierszowe, których elementami są wektory wierszowe