Macierzowa reprezentacja tensorów

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii

Macierzowa reprezentacja tensorów – forma reprezentacji tensorów z wykorzystaniem macierzy. Podstawowa zasada macierzowej reprezentacji tensorów brzmi: każdy indeks górny tensora musi być związany z jakąś kolumną, każdy indeks dolny musi być związany z jakimś wierszem.

Tensor I rzędu[edytuj | edytuj kod]

Tensor I rzędu, czyli wektor standardowo jest wyrażony z wykorzystaniem współrzędnych kowariantnych (jako wektor wierszowy, z dolnymi indeksami)

lub kontrawariantnych (jako wektor kolumnowy, z górnymi indeksem)

Dla ortogonalnych układów współrzędnych zachodzi równość współrzędnych ko- i kontrawairantnych, tj. i w związku z tym w takich układach zwykle stosuje się tylko dolne indeksy.

Tensor II rzędu[edytuj | edytuj kod]

Układ ortogonalny[edytuj | edytuj kod]

Ponieważ w układzie ortogonalnym mamy równość współrzędnych ko- i kontrawariantnych, zatem tensor II rzędu zapisujemy, korzystając tylko z dolnych indeksów, a jego postać macierzowa może być następująca

Układ nieortogonalny[edytuj | edytuj kod]

Wprowadzenie[edytuj | edytuj kod]

Jeżeli układ współrzędnych nie jest ortogonalny, to nie można zastosować formy macierzowej dla układów ortogonalnych, ponieważ taka forma zapisu tensora „gubi” informację dotyczącą wariancji – co obrazuje poniższy przykład[1]:

Weźmy tensor metryczny (występujący w teorii względności) i wykonajmy iloczyn wewnętrzny z wektorem kontrawariantny Z własności tensora metrycznego wynika, że powinniśmy otrzymać wektor wierszowy (kowariantny – czyli z indeksem dolnym ). Korzystając z notacji sumacyjnej i definicji iloczynu wewnętrznego tensorów, w zapisie wskaźnikowym mamy

zatem po prawej stronie równości dostajemy oczekiwany wektor kowariantny (wierszowy, czyli z dolnym indeksem). Natomiast zobaczmy, co się stanie, gdy użyjemy zapisu macierzowego używanego w układach ortogonalnych

Dostaliśmy wektor kolumnowy jako rezultat, a powinien wyjść wierszowy. Zatem powyższy zapis macierzowy wraz z działaniem mnożenia macierzy nie odwzorował prawidłowo działania iloczynu wewnętrznego tensorów, gdyż „zagubił” informacje o wariancji wektora wynikowego. Zatem taka forma macierzowa tensora nie jest prawidłowa.

Notacja[edytuj | edytuj kod]

W literaturze często nie uwzględnia się wyżej opisanego problemu i stosuje dla układów nieortogonalnych błędną reprezentację tensora II rzędu w formie macierzy. Niemniej jednak w nieortogonalnych układach można przedstawić ów tensor prawidłowo, używając notacji macierzowej w taki sposób, aby mnożenie macierzy z wektorem prawidłowo odwzorowywało iloczyn wewnętrzny tensorów. Mianowicie:

  • tensor z dwoma indeksami kowariantnymi (dolnymi) zapiszmy jako jednowierszową macierz której elementami są wektory wierszowe
nie należy mylić takiego indeksowania ze standardowym indeksowaniem macierzowym, bo choć mamy tutaj dwa indeksy dolne, to jednak lewy dolny indeks nie dotyczy numeru wiersza (gdyż macierz jest jednowierszowa).
  • tensor mieszany zapiszmy jako macierz, w której wiersze odpowiadają indeksowi kowariantnemu (dolnemu), a kolumny odpowiadają indeksowi kontrawariantemu (górnemu)
nie należy tego indeksowania mylić z konwencjonalnym indeksowaniem macierzy, w którym lewy dolny indeks oznacza wiersz, a prawy dolny kolumnę – gdyż tutaj dolny oznacza kolumnę, górny oznacza wiersz, a prawy dolny w ogóle nie istnieje.
  • tensor z dwoma indeksami kontrawariantnymi (górnymi) zapiszmy jako jednokolumnową macierz, której elementami są wektory kolumnowe

W podobny sposób można reprezentować tensory wyższych rzędów. Zwróćmy też uwagę, że iloczyn wewnętrzny tensorów zawiera w sobie operację kontrakcji, która zezwala na sumowanie tylko po indeksach o przeciwnej wariancji (co współgra z działaniem mnożenia macierzy, tj. macierz może być wymnożona tylko lewostronnie przez wektor wierszowy, a tylko prawostronnie przez wektor kolumnowy).

Przykłady[edytuj | edytuj kod]

Tensor 2 rzędu[edytuj | edytuj kod]

Dla wspomnianego wcześniej tensora metrycznego i zastosowaniu powyższej notacji dostajemy

jak widać teraz dostaliśmy oczekiwany wektor wierszowy.

Tensory wyższych rzędów[edytuj | edytuj kod]

W ten sposób możemy zapisać tensory wyższych rzędów, zachowując informację o wariancji ich indeksów, np.

  • dla symbol Christoffela drugiego rodzaju postacią będzie macierz której elementami są wektory wierszowe
  • dla symbolu Leviego-Civity postacią będzie wektor wierszowy, którego elementy to wektory wierszowe, których elementami są wektory wierszowe

Przypisy[edytuj | edytuj kod]

  1. Viktor Toth: On tensors and their matrix representations. 2005-08-10. (ang.).