Symbol Leviego-Civity

Wartości symbolu Leviego-Civity w praworęcznym systemie współrzędnych.

Wizualizacja symbolu Leviego-Civity jako trzech macierzy 3×3.

Wizualizacja symbolu Leviego-Civity dla leworęcznego systemu współrzędnych (pusty sześcian odpowiada liczbie 0, niebieski liczbie -1 i czerwony liczbie 1).

Symbol Leviego-Civity (symbol zupełnie antysymetryczny) jest tensorem antysymetrycznym, symbolem podobnym do delty Kroneckera, który jest zdefiniowany jako:

$\epsilon_{ijk} = \begin{cases} 0 & \mbox{gdy } i=j \mbox{ lub } j=k \mbox{ lub } k=i\\ 1 & \mbox{gdy } ijk \mbox{ to permutacja parzysta } (1,2,3) \\ -1 & \mbox{gdy } ijk \mbox{ to permutacja nieparzysta } (1,2,3) \\ \end{cases}$

(1)

Symbol ten został nazwany na cześć matematyka włoskiego Tullio Levi-Civita, choć powszechnie stosowaną nazwą symbolu Leviego-Civity jest „epsilon z trzema indeksami”. Wartym wspomnienia jest fakt, iż w rachunku tensorowym stosuje się również „epsilony” z większą liczbą indeksów.

Symbol może zostać zastosowany do zapisu iloczynu wektorowego w konwencji Einsteina:

$\vec c = \vec a \times \vec b =\vec{e}_{i} \epsilon_{ijk}a_{j}b_{k}$

(2)

W notacji tensorowej w tej samej konwencji co poprzednio mamy natomiast:

$\vec{c}=\vec a\times\vec b = a^{j}\vec e_{j}\times b^{k}\vec e_{k} =\vec e^{i}\epsilon_{ijk}a^{j}b^{k}$

(3)

• gdzie $\hat e^{i}$ jest i-tym wektorem bazy kontrawariantej.

Symbol ten jest pomocny przy wyprowadzaniu skomplikowanych wzorów z operatorem nabla i umożliwia uniknięcie rozpisywania wszystkiego na pochodne cząstkowe, przykładowo w układzie kartezjańskim symbol Leviego-Civity jest wielkością stałą, którego wartość jest zależna od trzech indeksów według przedstawienia (1).

Związek symboli Leviego-Civity z symbolami Kroneckera

Niech mamy podwójny iloczyn wektorowy napisanej jako wzór w punkcie (Podwójny iloczyn wektorowy-8) i zdefiniujmy wektory bazy kartezjańskiej prostokątnego układu współrzędnych wedle następującego sposobu:

$\vec{e}_1=(1,0,0), \vec{e}_2=(0,1,0), \vec{e}_3=(0,0,1)$

(4)

Wtedy odpowiedniki wektorów występującej we wspomnianym wzorze na podwójny iloczyn wektorowy są w postaci:

$\vec{a}=\vec{e}_i, \vec{b}=\vec{e}_j, \vec{c}=\vec{e}_k$

(5)

Wektory (5) możemy podstawić do wspomnianego powyżej wzoru, wtedy mamy:

$\vec{e}_i\times(\vec{e}_j\times\vec{e}_k)=\vec{e}_j\cdot(\vec{e}_i\cdot\vec{e}_k)-\vec{e}_k\cdot(\vec{e_i}\cdot\vec{e}_j)$

(6)

Ponieważ wektory (4) są wektorami bazy kartezjańskiej, zatem wedle wzoru (2) możemy napisać:

$\vec{e}_i\times\vec{e}_j=\vec{e}_p\epsilon_{pij}$

(7)

Jeśli wykorzystamy związek (7), i że wektory (4) są ortonormalne, wtedy przy pomocy symboli Leviego-Civity i symboli Kroneckera równość wynikająca z (6) możemy napisać następująco:

$\epsilon_{pil}\epsilon_{ljk}=\delta_{pj}\delta_{ik}-\delta_{pk}\delta_{ij}\;$

(8)

Zastosowanie symbolu Leviego-Civity w przykładach

Aby pokazać zastosowania symbolu Leviego-Civity udowodnijmy dla przykładu dwa poniższe twierdzenia:

$\nabla \times (f \vec a)=(\nabla f) \times \vec a + f(\nabla \times \vec a)\;$ (9)

$\nabla(\vec a \times \vec b)=\vec b(\nabla \times \vec a)-\vec a(\nabla \times \vec b)\;$ (10)

Dowód twierdzenia (9) opiera się na własnościach operatora ∇, czyli korzystamy w tym przypadku z twierdzenia o pochodnej iloczynu.

$\nabla \times (f \vec a) = \epsilon_{ijk}\vec e_{i} \frac{\partial }{\partial x_{j}}(fa_k)= \epsilon_{ijk}\vec e_{i}\frac{\partial f}{\partial x_{j}}a_k+f\epsilon_{ijk}\vec e_{i}\frac{\partial}{\partial x_{j}}a_k= (\nabla f) \times \vec a + f(\nabla \times \vec a)$

Dowód twierdzenia (10) też opiera się na własnościach operatora ∇, czyli korzystamy w tym przypadku z twierdzenia o pochodnej iloczynu, a także rozwinięcia iloczynu skalarnego poprzez wzór (3).

$\nabla(\vec a \times \vec b) = \vec e_{i} \frac{\partial}{\partial x_i}(\epsilon_{jkl}\vec e_j a_k b_l)= \vec e_i \vec e_j \epsilon_{jkl}\frac{\partial}{\partial x_i}(a_k b_l) = \delta_{ij}\epsilon_{jkl}(\frac{\partial a_k}{\partial x_i}b_l+a_k\frac{\partial b_l}{\partial x_i})=\;$ $=\epsilon_{ikl}\frac{\partial a_k}{\partial x_i}b_l+\epsilon_{ikl}a_k\frac{\partial b_l}{\partial x_i}=b_l\delta_{jl}\epsilon_{ikj}\frac{\partial a_k}{\partial x_i}+a_k\delta_{jk}\epsilon_{ijl}\frac{\partial b_l}{\partial x_i}= b_l \vec e_l \vec e_j\epsilon_{ikj}\frac{\partial a_k}{\partial x_i}+a_k \vec e_k \vec e_j \epsilon_{ijl}\frac{\partial b_l}{\partial x_i}=\;$ $= b_l \vec e_l \epsilon_{jik}\vec e_j \frac{\partial}{\partial x_i}a_k - a_k \vec e_k \epsilon_{jil} \vec e_j \frac{\partial }{\partial x_i}b_l= \vec b(\nabla \times \vec a)-\vec a(\nabla \times \vec b)$

Przykłady

• $\epsilon_{112}=0$, z powodu powtarzającej się wartości indeksu (wystarczy wziąć $i=1$ oraz $j=2$ w powyższej definicji),
• $\epsilon_{123}=1$, gdyż $(1,2,3)$ jest parzystą permutacją $(1,2,3)$,
• $\epsilon_{312}=1$, gdyż $(3,1,2)$, jest parzystą permutacją $(1,2,3)$,
• $\epsilon_{213}=-1$, gdyż $(2,1,3)$, jest nieparzystą permutacją $(1,2,3)$.

Zobacz też

• permutacja,
• tensor,
• konwencja sumacyjna Einsteina.