Symbole Christoffela

W matematyce i fizyce symbole Christoffela (nazwa pochodzi od autora Elwina Bruno Christoffela) są tablicami liczb rzeczywistych, opisujących w układzie współrzędnych efekt transportu równoległego na zakrzywionych powierzchniach, a ogólniej rozmaitościach.

Symbole Christoffela są Tensoro-podobnymi obiektami wyprowadzonymi z Riemannowskiej metryki g. Są głównie używane przy studiowaniu przestrzeni metrycznej. Pojawiają się przykładowo w równaniach geodezyjnych.

Istnieją dwa, blisko spokrewnione ze sobą typy symboli:

• Pierwszy rodzaj : $\Gamma_{ijk}$
• Drugi rodzaj : $\Gamma^k_{ij}$

Zawsze możliwy jest wybór takiego układu współrzędnych na rozmaitości riemanna w którym symbole christoffela zanikają w wybranym punkcie. W OTW symbole reprezentują siły grawitacyjne, a preferowanym układem współrzędnych będzie taki w którym ciało swobodnie spada.

Podana poniżej definicja dotyczy zarówno rozmaitości riemannowskiej jak i pseudoriemannowskiej, występujących w OTW.

Definicja

Jeżeli xⁱ, i = 1,2,...,n, jest lokalnym układem współrzędnych na rozmaitości M, wtedy styczne wektory

$e_i = \frac{\partial}{\partial x^i}, \quad i=1,2,\dots,n$

definiują bazę stycznej przestrzeni M w każdym punkcie.

Symbole Christoffela pierwszego rodzaju

Pierwszy typ tensora otrzymanego z metryki remannowskiej g. Symbole christoffela pierwszego rodzaju oznaczane jako: [ij,k], mogą zostać otrzymane poprzez różniczkowanie samej metryki:

$\Gamma_{ijk}=x_{jk} x_{k}=\frac{1}{2} \left(\frac{\partial g_{jk}}{\partial x^i} + \frac{\partial g_{ki}}{\partial x^j} - \frac{\partial g_{ij}}{\partial x^k} \right)$

Symbole Christoffela drugiego rodzaju (definicja symetryczna)

Symbole Christoffela drugiego rodzaju $\Gamma^k_{ij}$ są zdefiniowane jako unikalne współczynniki dla których równanie:

$\nabla_ie_j = \Gamma^k_{ij}e_k$

jest spełnione, gdzie $\nabla_i$ jest połączeniem Levi-Civita na M w kierunku współrzędnych e_i.

Symbole Christoffela można także wyprowadzić z zanikających pochodnych kowariantnych tensora metrycznego $g_{ik}\$:

$0 = \nabla_\ell g_{ik}= \frac{\partial g_{ik}}{\partial x^\ell}- g_{mk}\Gamma^m{}_{i\ell} - g_{im}\Gamma^m{}_{k\ell} = \frac{\partial g_{ik}}{\partial x^\ell}- 2g_{m(k}\Gamma^m{}_{i)\ell}. \$

W notacji skróconej Symbol nabla oraz symbole pochodnej cząstkowej są często opuszczane. Dlatego czasami pojawia się zapis:

$0 = \,g_{ik;\ell} = g_{ik,\ell} - g_{mk} \Gamma^m_{i\ell} - g_{im} \Gamma^m_{k\ell}. \$

Przez permutację indeksów oraz sumowanie można przedstawić symbol Christoffela jako funkcję tensora metrycznego:

$\Gamma^i_{k\ell}=\frac{1}{2}g^{im} \left(\frac{\partial g_{mk}}{\partial x^\ell} + \frac{\partial g_{m\ell}}{\partial x^k} - \frac{\partial g_{k\ell}}{\partial x^m} \right) = {1 \over 2} g^{im} (g_{mk,\ell} + g_{m\ell,k} - g_{k\ell,m}), \$

gdzie macierz $(g^{jk}\ )$ jest macierzą odwrotną do macierzy $(g_{jk}\ )$, zdefiniowanej jako (przy użyciu delty Kroneckera i notacji Einsteina jako konwencji sumacyjnej) $g^{j i} g_{i k}= \delta^j {}_k\$. Pomimo tego, że symbole Christoffela są zapisane w takiej samej notacji jak zapis tensorowy same nie są tensorami.

Bibliografia

• Kreyszig, Erwin (1991), Differential Geometry, Dover Publications, ISBN 9780486667218

Zobacz też

• Tensor
• Pochodna kowariantna
• Transport równoległy
• Równanie Einsteina
• Kosmologia obserwacyjna
• Rozmaitość riemannowska