Symbole Christoffela

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

W matematyce i fizyce symbole Christoffela (nazwa pochodzi od autora Elwina Bruno Christoffela) są tablicami liczb rzeczywistych, opisujących w układzie współrzędnych efekt transportu równoległego na zakrzywionych powierzchniach, a ogólniej rozmaitościach.

Symbole Christoffela są Tensoro-podobnymi obiektami wyprowadzonymi z riemannowskiej metryki g. Są głównie używane przy studiowaniu przestrzeni metrycznej. Pojawiają się przykładowo w równaniach geodezyjnych.

Istnieją dwa, blisko spokrewnione ze sobą typy symboli:


  • Pierwszy rodzaj : \Gamma_{ijk}
  • Drugi rodzaj : \Gamma^k_{ij}


Zawsze możliwy jest wybór takiego układu współrzędnych na rozmaitości riemanna w którym symbole Christoffela zanikają w wybranym punkcie. W OTW symbole reprezentują siły grawitacyjne, a preferowanym układem współrzędnych będzie taki w którym ciało swobodnie spada.

Podana poniżej definicja dotyczy zarówno rozmaitości riemannowskiej jak i pseudoriemannowskiej, występujących w OTW.


Definicja[edytuj | edytuj kod]

Jeżeli xi, i = 1,2,...,n, jest lokalnym układem współrzędnych na rozmaitości M, wtedy styczne wektory

e_i = \frac{\partial}{\partial x^i}, \quad i=1,2,\dots,n

definiują bazę stycznej przestrzeni M w każdym punkcie.

Symbole Christoffela pierwszego rodzaju[edytuj | edytuj kod]

Pierwszy typ tensora otrzymanego z metryki remannowskiej g. Symbole Christoffela pierwszego rodzaju oznaczane jako: [ij,k], mogą zostać otrzymane poprzez różniczkowanie samej metryki:


\Gamma_{ijk}=x_{jk}  x_{k}=\frac{1}{2} \left(\frac{\partial g_{jk}}{\partial x^i} + \frac{\partial g_{ki}}{\partial x^j} - \frac{\partial g_{ij}}{\partial x^k} \right)

Symbole Christoffela drugiego rodzaju (definicja symetryczna)[edytuj | edytuj kod]

Symbole Christoffela drugiego rodzaju \Gamma^k_{ij} są zdefiniowane jako unikalne współczynniki dla których równanie:


\nabla_ie_j = \Gamma^k_{ij}e_k


jest spełnione, gdzie \nabla_i jest połączeniem Levi-Civita na M w kierunku współrzędnych ei.


Symbole Christoffela można także wyprowadzić z zanikających pochodnych kowariantnych tensora metrycznego g_{ik}\ :


0 = \nabla_\ell g_{ik}=
\frac{\partial g_{ik}}{\partial x^\ell}- g_{mk}\Gamma^m{}_{i\ell} - g_{im}\Gamma^m{}_{k\ell}
=
\frac{\partial g_{ik}}{\partial x^\ell}- 2g_{m(k}\Gamma^m{}_{i)\ell}.
\


W notacji skróconej Symbol nabla oraz symbole pochodnej cząstkowej są często opuszczane. Dlatego czasami pojawia się zapis:


0 = \,g_{ik;\ell} = g_{ik,\ell} - g_{mk} \Gamma^m_{i\ell} - g_{im} \Gamma^m_{k\ell}. \


Przez permutację indeksów oraz sumowanie można przedstawić symbol Christoffela jako funkcję tensora metrycznego:


\Gamma^i_{k\ell}=\frac{1}{2}g^{im} \left(\frac{\partial g_{mk}}{\partial x^\ell} + \frac{\partial g_{m\ell}}{\partial x^k} - \frac{\partial g_{k\ell}}{\partial x^m} \right) = {1 \over 2} g^{im} (g_{mk,\ell} + g_{m\ell,k} - g_{k\ell,m}), \


gdzie macierz (g^{jk}\ ) jest macierzą odwrotną do macierzy (g_{jk}\ ), zdefiniowanej jako (przy użyciu delty Kroneckera i notacji Einsteina jako konwencji sumacyjnej) g^{j i} g_{i k}= \delta^j {}_k\ . Pomimo tego, że symbole Christoffela są zapisane w takiej samej notacji jak zapis tensorowy same nie są tensorami.


Bibliografia[edytuj | edytuj kod]

Zobacz też[edytuj | edytuj kod]