Metoda siecznych

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Metoda siecznych (metoda Eulera)metoda numeryczna, służąca do rozwiązywania równań nieliniowych z jedną niewiadomą.

Metoda siecznych to algorytm interpolacji liniowej. Polega na przyjęciu, że funkcja na dostatecznie małym odcinku \langle a,b\rangle w przybliżeniu zmienia się w sposób liniowy. Możemy wtedy na odcinku \langle a,b\rangle krzywą y=f(x) zastąpić sieczną. Za przybliżoną wartość pierwiastka przyjmujemy punkt przecięcia siecznej z osią OX.

Metodę siecznych dla funkcji f(x), mającej pierwiastek w przedziale \langle a,b\rangle można zapisać następującym wzorem rekurencyjnym:

\begin{cases}
x_{0} = a & \\
x_{1} = b & \\
x_{n+1} = x_{n} - \frac{f(x_{n})(x_{n}-x_{n-1})}{f(x_{n})- f(x_{n-1})} & n=1,2,\ldots \\
\end{cases}.

Metoda siecznych ma tę zaletę, że do wykonania interpolacji za jej pomocą niepotrzebna jest znajomość pochodnych funkcji (odwrotnie niż np. w metodzie Newtona). Z drugiej strony, gdy wybierzemy zbyt mały przedział \langle a,b\rangle metoda ta może nie być zbieżna, np.:

\begin{cases}
a = 0.5 & \\
b = 1 & \\
f(x) = 2x - x^3-1 \\
\end{cases}.

W powyższym przypadku na zmianę będziemy otrzymywali pierwiastki równe 0,5 lub 1. Gdy metoda siecznych nie prowadzi do wyniku, warto zastosować metodę alternatywną.

Inne numeryczne metody wyznaczania pierwiastków równania nieliniowego: