Metoda siecznych

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Metoda siecznych (metoda Eulera)metoda numeryczna, służąca do rozwiązywania równań nieliniowych z jedną niewiadomą.

Metoda siecznych to algorytm interpolacji liniowej. Polega na przyjęciu, że funkcja na dostatecznie małym odcinku \langle a,b\rangle w przybliżeniu zmienia się w sposób liniowy. Możemy wtedy na odcinku \langle a,b\rangle krzywą y=f(x) zastąpić sieczną. Za przybliżoną wartość pierwiastka przyjmujemy punkt przecięcia siecznej z osią OX.

Metodę siecznych dla funkcji f(x), mającej pierwiastek w przedziale \langle a,b\rangle można zapisać następującym wzorem rekurencyjnym:

\begin{cases}
x_{0} = a & \\
x_{1} = b & \\
x_{n+1} = x_{n} - \frac{f(x_{n})(x_{n}-x_{n-1})}{f(x_{n})- f(x_{n-1})} & n=1,2,\ldots \\
\end{cases}

Wzór na x_{n+1} otrzymujemy ze wzoru Metody Newtona

x_{n+1} = x_n - \frac{f(x_n)}{f'(x_n)}

wstawiając przybliżenie pochodnej w punkcie x_n

f'(x_n) \approx \frac{f(x_n) - f(x_{n-1})}{ x_n - x_{n-1}}

Metoda siecznych ma tę zaletę, że do wykonania interpolacji za jej pomocą niepotrzebna jest znajomość pochodnej danej funkcji, gdyż przybliżamy ją za pomocą powyższego wzoru. Metoda zawodzi jeżeli:  f(x_n) = f(x_{n-1}).

Inne numeryczne metody wyznaczania pierwiastków równania nieliniowego: