Metoda siecznych
Metoda siecznych, w literaturze polskojęzycznej czasem metoda cięciw[1] – metoda numeryczna, służąca do rozwiązywania równania nieliniowego z jedną niewiadomą.
Metoda siecznych to algorytm interpolacji liniowej. Ma tę zaletę, że do użycia jej niepotrzebna jest znajomość pochodnej danej funkcji ani nawet założenie różniczkowalności.
Opis procedury[edytuj | edytuj kod]
Wersja podstawowa[edytuj | edytuj kod]
Polega ona na przyjęciu, że funkcja ciągła na dostatecznie małym odcinku w przybliżeniu zmienia się w sposób liniowy. Możemy wtedy na odcinku krzywą zastąpić sieczną. Za przybliżoną wartość pierwiastka przyjmujemy punkt przecięcia siecznej z osią OX.
Metodę siecznych dla funkcji mającej pierwiastek w przedziale można zapisać następującym wzorem rekurencyjnym:
Aby metoda się powiodła, dla każdego n musi zachodzić gdyż tylko wtedy sieczna przechodząca przez punkty i przecina oś OX. Metoda ta nie zawsze jest zbieżna.
Modyfikacja[edytuj | edytuj kod]
Metoda ta zapewnia zbieżność do pierwiastka dla dowolnej funkcji ciągłej na odcinku takiej, że
Polega ona na wyznaczaniu takich ciągów i takich, że i dla każdego n Między i musi być pierwiastek funkcji, a przedziały tworzą ciąg zstępujący. Zbieżność ciągów i do tej samej granicy będącej pierwiastkiem równania zapewnia następująca reguła rekurencyjna:
Polega ona na wyznaczeniu punktu przecięcia siecznej przechodzącej przez punkty i z osią OX i zastąpienia tym punktem jeden z końców przedziału, gdzie znajduje się pierwiastek.
Powiązane metody numeryczne[edytuj | edytuj kod]
Do wyznaczania pierwiastków równania nieliniowego służą też:
Przypisy[edytuj | edytuj kod]
- ↑ Włodzimierz Krysicki, Lech Włodarski, Analiza matematyczna w zadaniach, Państwowe Wydawnictwo Naukowe, 1980 .