Odcinek

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacji, wyszukiwania
Ujednoznacznienie Ten artykuł dotyczy części prostej. Zobacz też: miejscowość Odcinek oraz odcinek koła.
Prosta, półprosta i odcinek. Dla prostej i półprostej widać tylko fragment mieszczący się na rysunku. Wypełnione kółeczka (tzw. nulki) symbolizują punkty na końcach odcinka i na początku półprostej, które także do odcinka i półprostej należą.

Odcinek – w geometrii część prostej zawarta pomiędzy dwoma jej punktami z tymi punktami włącznie. Odcinek w całości zawiera się wewnątrz tej prostej.

W przestrzeni trójwymiarowej z kartezjańskim układem współrzędnych XYZ odcinek o końcach (x_1,y_1,z_1),\ (x_2,y_2,z_2) jest zbiorem punktów (x,y,z) opisanych układem równań

\left\{
\begin{array}{l}
x=x_1+t(x_2-x_1),
\\
y=y_1+t(y_2-y_1),
\\
z=z_1+t(z_2-z_1),
\end{array}
\right.

albo równoważnie

\left\{
\begin{array}{l}
x=(1-t)x_1+tx_2,
\\
y=(1-t)y_1+ty_2,
\\
z=(1-t)z_1+tz_2,
\end{array}
\right.

gdzie

0\leqslant t\leqslant 1.

W przestrzeni jednowymiarowej (na osi liczbowej) definicja ta ogranicza się do pierwszej równości:

x=x_1+t(x_2-x_1),\;

czyli:

x=(1-t)x_1+tx_2\;

przy 0\leqslant t\leqslant 1, stając się równoważną definicji przedziału [x_1, x_2].
W przestrzeni dwuwymiarowej powyższy układ sprowadza się do dwóch pierwszych równań. W przestrzeni o większej liczbie wymiarów należy dopisać kolejne równania.

Uogólnienie na przestrzenie wektorowe[edytuj | edytuj kod]

W dowolnej przestrzeni wektorowej odcinek AB (tzn. odcinek o końcach A i B będących punktami tej przestrzeni) jest zbiorem punktów leżących "pomiędzy" A i B jako ich średnie ważone przy dowolnych nieujemnych wagach:

AB\ =\ \{ (1-t)\cdot A+t\cdot B :\ 0\leqslant t\leqslant 1\}.

Dla przestrzeni z kartezjańskim układem współrzędnych definicja ta, poprzez rozpisanie warunków na poszczególne współrzędne, wprost sprowadza się do definicji podanej powyżej.

Uogólnienie na przestrzenie metryczne[edytuj | edytuj kod]

W przestrzeni metrycznej odcinek o końcach A i B można definiować jako zbiór punktów X tej przestrzeni leżących "pomiędzy" A i B jako spełniających warunek:

odległość od A do B równa jest sumie odległości od A do X i od X do B.

Algebraicznie warunek ten wyraża się jako równość:

\sigma_{AB}=\sigma_{AX}+\sigma_{XB},\;

gdzie \sigma_{PQ} jest odległością pomiędzy P i Q według metryki obowiązującej w danej przestrzeni.

Zobacz też[edytuj | edytuj kod]

Wikiquote-logo.svg
Zobacz w Wikicytatach kolekcję cytatów
o odcinku
WiktionaryPl nodesc.svg
Zobacz hasło odcinek w Wikisłowniku